2.2　椭圆运动的基本关系式

上述六个积分已完全确定了二体问题中天体的运动，但这六个积分的表达形式对某些实际问题使用不便，有必要在上述基础上导出一些常用关系式。这里将根据实际工作的需要整理于下，所涉及的量不外乎六个轨道根数，时间t、各种近点角、向径和速度等。

2.2.1　椭圆运动中各量之间的几何关系

首先从图2.3和开普勒方程（2.24）不难看出，三种近点角的象限关系很清楚，它们同时处在［0，π］或［π，2π］区间上，这是一个很重要的关系，它们之间的联系即

另外，根据椭圆的性质可知，图2.3中的，于是有

2.2.2　位置矢量和速度矢量的表达式

作为二阶方程（2.1）的完整解，即本节一开始提到的如下形式：

既然六个积分已得到，那么可以写出解（2.32）式的具体形式。这里的积分常数C1，…，C6即前面的六个轨道根数，其中C6是τ，如果改用M，（2.32）式中的t将包含在M中。

显然有

其中和分别表示近星点和半通径方向的单位矢量。通过坐标旋转，很容易给出它们在直角坐标系O-XYZ中的表达式。若在以轨道面作为xy平面的直角坐标系中，x轴指向近星点方向，则相应的单位矢量有下列形式：

于是O-XYZ坐标系中的表达式将由下列矩阵旋转得到：

其中三个旋转矩阵的形式如下：

至于的表达式，只要将Rz（-ω）改为Rz（α），α＝-（ω＋90°）即得。

为了某些应用的需要，将和的具体表达式写出，即

关于，根据二体问题的性质，由的表达式（2.33）可得

由面积积分（2.26）给出或由Kepler方程（2.28）给出，即可具体写出的表达式，即

有些问题需要将六个积分常数改用初值来表达，即

这容易从表达式（2.33）和（2.42）转换而得。首先将和表达成的形式，由

可解出和，以此代入（2.33）式和（2.42）式，经整理即可将和用的“线性”组合来表达：

但F，G，F′，G′仍与有关。F，G的形式如下：

其中Δt＝t-t0，ΔE＝E-E0，而a和ΔE由下式计算：

由于

（2.48）式类似于Kepler方程，故ΔE的计算还是比较方便的，特别当Δt不大时，比解Kepler方程（解法在后面第2.5节中给出）还快速。关于F′，G′，根据可导出

不难看出，当Δt比较小时，有

根据F，G，F′，G′的上述特征，可以采用Δt的幂级数来表达。关于这一表达形式，本章参考文献[5]和[6]中均有具体形式，为了让读者了解与其有关的知识，这里简单介绍一下其由来。凡是学过常微分方程的读者都知道：只要运动方程（2.1）的右函数满足相关条件（这里不再具体写出，方程（2.1）确实满足该条件），其满足初始条件的解即存在，且可展成时间间隔Δt＝t-t0的幂级数：

其中为对t的k阶导数在t0时刻的取值，即

要给出级数解（2.53）满足初始条件的具体形式，就要计算各阶导数在t0处的值。已给出，而二阶以上各阶导数值均可根据运动方程（2.1）由和构成，即

因此，上述幂级数解（2.53）可以按和整理如下：

对于本章论述的由运动方程（2.1）表达的二体问题，F和G即可由Δt的幂级数表达。为了在实际工作中引用方便，且有利于量级分析，在具体给出F和G的展开式时，采用归一化单位，即采用相应的质量和长度单位，使引力常数G＝1和μ＝G（m0＋m）＝1，这里的质量单位是（m0＋m），长度单位记作L（例如中心天体P0的赤道半径，或适当的长度），相应的时间单位即（L3/G（m0＋m））1/2。在此单位系统中，有

其中

相应地有

不难看出，在上述归一化单位系统中，若将r0近似地看作运动天体轨道的半长径a，则u0＝，n即平运动角速度。于是F，G的量级特征为

其中Δτ＝nΔt是运动弧段，这一特征在初轨确定中是一个重要的初始信息，在本书的第6章中将会具体阐述其应用价值。

2.2.3　椭圆运动中一些量对轨道根数的偏导数

在研究天体运动规律或计算其位置时，除遇到六个轨道根数a，e，i，Ω，ω，M外，还会涉及由它们构成的一些函数，而这些函数关系中的基本量就是E，f，r，因此，只要给出这些量对轨道根数的偏导数就够了。

首先分析上述量与六个独立根数之间的函数关系，由方程（2.27）～（2.30）式可知

那么，利用前面的几何关系即可推出相应的偏导数，它们是

若独立根数M改为E，则有

若独立根数M改为f，则有

在实际应用中，常常出现这一因子，由可直接得到。显然，只是e和近点角的函数，因此有

其中θ是M，E，f中的一个。

对于小偏心率问题，往往不采用上述六个轨道根数作为基本变量，而改用

六个变量，f，E将由u＝f＋ω，v＝E＋ω代替。若要推出相应的偏导数，其关键仍在于首先分析清楚函数关系。由

可知

利用这一关系再推导相应的偏导数显然是容易的，例如

其中前面已给出，剩下的问题只是根据上述函数关系（2.64）式去推导，…，这对读者来说是极其简单的，这里不再一一列出。

在定轨问题中，还会用到这两组偏导数。由和的表达式（2.33）和（2.42）不难得知，它们分别涉及两类偏导数。如果仍用a，e，i，Ω，ω，M作为基本变量σ，则一类偏导数是前面已导出的，另一类是单位矢量和对三个角度量的偏导数，即直接由和的表达式（2.39）和（2.40）可以推导，但不便于将结果写成简单形式，若用矢量旋转法就方便得多，具体结果如下:

其中即轨道面法向单位矢量，其表达式即前面的（2.4）式，又可写成下列形式：

相应的有

而H，K，H′，K′则由下列各式表达：

2.2.4　近点角M，E，f与时间t之间的微分关系

根据三种近点角的定义，利用面积积分（2.26）和Kepler方程（2.28）以及上述各有关表达式，可给出

在后面要讨论的问题中，积分时常遇到上述几种变量之间的转换，为了方便，不妨根据（2.72）式将这些关系整理如下：

注意，这组微分关系是建立在六个轨道根数为常数基础上的，严格地说，它们仅适用于二体问题，这与前面的几何关系式以及相应的偏导数关系式不一样。