二、福建省城市规模研究
（一）城市规模收益分析
设某一区域内城市的产出函数为Y=eg（x）f（K, L，E），其中，eg（x）表示城市的聚合效应对城市产出的影响，g（x）表示该城市的聚合水平因子，K、L、E分别表示城市的资本、劳动人口、人力资本（为了更好地表征劳动力的质量）。为方便分析，本专题利用C-D生产函数构建了一个能够测度城市聚合效应的城市生产函数，以研究城市人口规模与城市每单位劳动平均产出（即经济效益）的关系，具体可将人均生产函数设为如下形式：
式（1）的两边同时除以L，得到：
其中，0＜α＜1，0＜β＜1。
对式（2）的两边以e为底进行对数化，可以得到：
其中，Y/L为每单位劳动的平均产出，表示一个城市的劳动生产率；K/L表示每单位劳动的平均资本；A表示除经济集聚效应以外影响劳动生产率的其他因素；g（x）是衡量城市集聚水平的集聚因子，根据集聚经济理论，集聚因子g（x）主要受到城市的人口密度、城市产业的专业化程度（多样化）以及城市人口规模这三个因素的影响。本专题将聚合因子设为如下函数形式：
将式（4）代入式（3）中，同时为了能够反映出城市规模效益与人口规模之间可能存在的非线性函数关系，在式（5）中加入了size的二次项。可以得到：
最后，令
则最终方程为
根据式（6），对S进行一阶求导使得ln（y）最大化，并令其为0，求出城市经济效益最大化时城市的人口规模值。
求得：
基于式（5）以及统计数据的可获得性，本专题选取了福建省2003—2013年9个地级市的面板数据进行分析，具体指标如表1所示。其中需要说明的是城市经济的劳动生产率这一因变量，本专题是以每单位劳动平均产值这一指标进行测度，即非农业生产总值Y和第二、三产业从业人员L之比。为了更加准确地描述城市的规模经济效益，本专题剔除了第一产业的产值，选取了城市市辖区第二、三产业生产总值及第二、三产业单位从业人员来进行衡量。人力资本指标，采用高等学校在校学生数这一指标来衡量。人力资本是指从业人员通过教育培训、营养保健等方面的投资所获得的知识和体能的积累。这里由于福建省各地市数据的可获取性，本专题只考虑教育投资。高等学校在校学生人数远小于实际的人力资本，因而估算其对城市效益的影响系数可能偏小。
表1 变量与指标说明
城市专业化程度指标主要采用的是Duranton和Puga（2004）所建立的相对专业化系数。其具体计算公式如表1所示。其中，Sij是指产业j的就业人员在城市i中所占的比重，而Sj则表示产业j的就业人员在全国的占比。R指数在[0，1]区间，其值越大，表明城市的专业化程度越高；反之，则越低。
同时，也有学者提出行业间的差异性和互补性，即产业的多样性对于城市集聚经济也有重要的影响。Jacobs（1969）强调了知识在互补的产业间外溢而促进创新搜寻，因而多样化的产业在地域上的集中比相近产业的集中更能带动区域经济的增长。为更好地描述城市经济集聚水平，本专题引入多样性指数这一指标进行分析。多样性指数的计算公式为：
所有数据都来源于2004—2014年的《福建统计年鉴》和《中国城市统计年鉴》。
本专题采用Stata12.0计量软件对式（6）进行回归拟合，回归结果如表2所示。其中，根据F检验的结果，在混合回归模型和固定效应模型中应选择固定效应模型。根据Hausman检验和BP检验结果，应选择固定效应模型而不使用随机效应模型。由R2可以看出模型1和模型3的拟合效果较好。具体实证结果如表2所示。
表2 福建城市规模效益拟合结果
由表2可以看出，不论是哪个模型，每单位劳动平均资本对城市的劳动生产率都有非常显著的影响，各模型中的单位劳动资本对城市经济效益的影响系数都超过0.5，并且在1%的置信水平下显著。这与福建省的经济发展现状基本相符，即资本投入仍然是拉动福建城市经济增长的重要方式。人力资本对城市经济效率的贡献系数并不高，模型检验结果最高才0.1172，这主要是因为本专题选取的高等学校在校学生人数这一指标远远低于实际的城市人力资本数量，无法准确估量人力资本对城市集聚经济效益的影响。
根据经济集聚理论，人口在一定地域范围内的集中能够有效利用资源，促进地区经济的发展。模型2和模型4中，人口密度对于城市集聚具有正向的作用，但人口密度对于城市劳动生产效益的影响并不显著。从模型2可以看出，相对专业化指数对城市经济效益具有负的影响，但不显著。而模型4表明产业多样性对于城市劳动生产率的提高具有正向的影响，但并不明显。这说明城市由于产业的多样性，企业能够为城市居民提供较为丰富的产品和服务，从而吸引多样化的劳动力聚集，为各类产业的发展提供人才支持。从人口规模来看，模型2和模型4都证明了人口规模同城市经济效益存在非线性函数关系。人口规模的二次项系数为负，一次项系数为正，说明城市经济效益与城市规模存在倒U形关系。也就是说，城市经济效益先随着城市人口规模的扩张而上升，待超过一定数量后，开始呈现下降的趋势。
（二）城市成本分析
城市人口密度、土地、环境、资源、房价、交通基础设施等都会影响城市的规模。本专题从城市公共管理者的角度，以城市政府的财政支出这一指标来衡量城市成本。具体理由是政府的公用支出包括城市基本建设支出、通信交通、文化教育以及基本保障费用等基本支出。公共财政提供了城市发展所需要的公共物品，也支持了城市道路建设、通信网络的铺陈，以及城市环境的治理，如污水处理等。而这些都体现了城市管理者为维护城市建设所花费的成本，因而城市公共财政支出在一定程度上能够反映城市成本。但公共支出还包括支援农村生产产出、国企挖潜改造资金等费用。为了能够更准确地描述城市成本，本专题将采用《福建统计年鉴》中财政支出中的基础设施支出作为因变量，并以城市常住人口作为自变量，建立如下城市成本模型：
并将式（1）两边同时除以size，求得城市平均成本为：
要使城市平均成本最小，对式（2）进行求导，得到：
并令其一阶导数为0，则最后平均成本最小化规模为：
本专题选取了2003—2013年福建省所有地级以上城市的城市常住人口及城市基础设施支出的数据进行研究。根据Hausman检验和F检验的结果，应选择固定效应模型进行分析，具体结果如表3所示。
表3 模型检验结果
由回归结果可以得到调整R2为0.70，说明上述方程能够较好地解释城市公共支出同人口规模之间的关系。而由人口规模二次项系数为正、一次项系数为负可以得出城市平均公共成本同城市规模之间呈现正U形关系，即城市平均公共成本随着城市人口规模的扩大呈现先下降后上升的趋势。在一定的人口规模范围内，城市人口的增加能够摊薄城市公共成本，然而超过某一定值后，城市平均公共成本随着人口规模的扩大而增加（见表4）。
表4 城市成本模型回归结果
（三）福建城市合理规模分析
根据上述福建省城市规模效益和成本的实证研究，将相关估计系数分别代入式（8）和式（12）进行计算，可以得到如表5所示的结果。
表5 模型实证结果
根据成本最小化的模型实证结果，可以判断福建省的最佳城市人口规模应为566.3万人。城市规模效益最大化的结果表明，不同的模型及对城市效益的不同测算方式使得最优人口规模解具有一定的差异，但差异在可接受范围内。根据模型的检验结论，本专题采用模型2和模型4的城市平均劳动生产效率最大化时的解。具体来说，根据模型2所计算出的最优人口规模解为513.5万人，而模型4所计算出来的最优人口规模解为512.1万人。当然，城市的最优规模并不是静止不变的，而是动态变化的，并且城市规模除了受经济因素的影响外，还受到城市的交通便利程度、公共基础设施、城市治安、市容市貌以及城市的气候、地理环境等综合因素的影响。因而，本专题从经济因素这一角度对城市最优规模进行分析，虽存在一定的缺陷，但对福建省目前和未来的城市规模发展有一定的参考意义。综合上述模型的推导结果，笔者认为依据福建城市现阶段的经济发展状况，城市人口的合理规模为500万—560万人。
表6列出了2009—2014年福建省九大地级市市辖区常住人口数量。根据上述实证结果，福建省九大地级市城区人口规模仍远远未达到最优规模解，城市人口的集中程度远远低于理论上得出的人口集中水平。换句话说，福建省九大地级市城区仍处于城市规模收益上升的阶段，城市仍需要加强其经济集聚能力。而近些年来，福建各城市的人口数量增长缓慢，行政区划上虽然实现了“就地城镇化”，但是居民的生活方式和生活质量却未发生根本改变，因此，人口进一步向大城市聚集的空间还很大。
表6 2009—2014年福建各市市辖区常住人口数量
