1.1.2　数尽其用——数系的扩充

中国的计数符号不断演变与发展，从结绳计数、刻痕计数到殷墟甲骨文中13个计数符号、算筹计数、十进位值制的发明使用，所研究的数都是自然数。由于社会生产力的发展和数学内部发展的需要，数系也在不断地扩充中。

负数概念最早起源于经济生活中的不足和亏损，李悝在《法经》中就有“不足四百五十”的说法，居延汉简中则有许多“负算”实例，这些都是负数概念的现实原型。随着人类对数的认识的深入，必然认识到存在着具有相反意义的量。据记载，中国是最早认识和使用负数的国家，《九章算术》方程章解线性方程组过程中遇到了减数大于被减数的情况，提出了正负术。魏晋著名数学家刘徽在《九章算术注》首次明确提出了正数和负数的概念，并用红色、黑色两种颜色的算筹分别表示正数和负数，或者以正、斜排列的算筹表示正数与负数。负数的产生解决了在自然数集范围内解x+2=0这类方程无解的情况，至此，自然数集扩充为整数集。

整数集的产生带来了很大帮助，但进行计算和测量时又遇到了麻烦。几个人一起分一个饼，这时每个人分到的量既不是“1”（整个饼），也不是“0”（完全没有分到）。为了解决物品分配的问题便产生了分数，需将饼平均分成若干份，用一份或几份来表示每个人所得量（图1.4）。我国很早就开始使用分数，《九章算术》中“方田”章里就记录了分数四则运算法。和负数的产生一样，分数的产生也可解决在整数范围内解3x-2=0这类方程无解的情况。分数和整数统称为有理数，于是整数集扩充到有理数集。

图1.4　分饼

生活中我们接触和使用最多的就是有理数，但在公元前500年前后，毕达哥拉斯学派的门徒希帕索斯发现并证明了边长为“1”的正方形对角线长“不可公度”（不能表示成两个整数之比），由此引发数学史上第一次数学危机。在中国，《九章算术》“少广”章中记录了开平方术与开立方术，开方术在叙述了开平方的程序之后说：“若开之不尽者为不可开，当以面命之。”术文中的“面”就是开方不尽之数的方根，“某数之面”就是以某数为面积的正方形的边长。若一个正方形的面积为3，则可知其边长是“”。类似这样“开之不尽”的数就是无理数，无理数的出现也可使x²-3=0这类方程找到相应的解。有理数和无理数构成了数学中的重要数集——实数集。

随着人们对新知的探索，新的矛盾又产生了，某些代数方程的解已超出了实数范围，实数集需要进一步扩充。虚数单位i的产生使得x²+1=0这类方程可以求解，于是实数系又进一步扩充到复数系……（图1.5）“数”还在不断发展壮大来满足社会需求与数学发展需要，“数”也将会在人们不断探索和实践中逐渐完善和丰富。

图1.5　数系的扩充