2.1.2 随机事件

在随机试验中，随机变量取一个值或者取一组值，或者一组随机变量取一组值，称为一个随机事件（后续一般简称为事件）。“X=1”是一个事件，同样，“X=1或者X=2”“X=1且Y=3”“X=1或者Y=3”都是事件。举一些具体的例子，“抛硬币后头朝上”“对象大于40岁”“患者康复了”都是事件。第一个例子中，“抛硬币的结果”是一个变量，“头朝上”是变量的取值。在第二个例子中，“对象的年龄”是一个变量，“年龄大于40岁”是这个变量的一组可能的取值。在第三个例子中，“患者的状态”是一个变量，“康复”是其取值。在这里，关于“事件”的定义与我们日常生活中关于“事件”的提法有所不同，在日常生活中，“事件”通常是指一定变化的发生。比如，在日常生活中，我们不会说一个人年龄多大是一个事件，相反，我们一般把一个人又长了一岁称为一个事件。这里事件的概念也可以从概率的角度来理解：任何一个断言（关于事物为真或假的陈述）都是一个事件。随机试验中必然发生的事件，称为必然事件，比如，学生身高、体重统计中，学生的身高大于0；在随机试验中必然不发生的事件称为不可能事件，比如，学生身高、体重统计中，学生的身高小于0。

掷骰子，观察骰子朝上一面的数字，这是一个随机试验，因为它满足随机试验的三个条件：掷骰子可以按相同条件重复进行；全部可能的结果是确定的，是1～6这6个数字中的一个；试验的结果到底是哪个数字，在试验完成之前无法确定。（观察到的）骰子朝上一面的数字是一个变量，我们用X来表示这个变量。如果试验得到的骰子朝上一面的数字是5，即X=5，这就是一个事件。在这个随机试验中，变量X所有可能的结果，即变量X的所有取值有6个，分别是X=1、X=2、X=3、X=4、X=5和X=6，这是6个事件，并且这6个事件在每次试验中必然发生一个且仅发生一个，这样的事件称为基本事件。这个试验的结果也可能是X>4，这也是一个事件，它等价于X=5或X=6，由多个基本事件组合而成，我们称之为复合事件。对于一个随机试验，由全部基本事件作为元素所组成的集合称为样本空间。样本空间中的一个元素称为一个样本点。样本点所对应的事件，既可以是基本事件，也可以是复合事件。

对于一个随机试验，其所有的事件都是样本空间中的子集，因此，事件之间的关系和运算可以按照集合论中集合之间的关系和运算来处理。假设随机试验的样本空间为Ω，事件A、B、A_k(k=1,2,…)是Ω的子集。相应地有下列事件之间的关系。

（1）包含关系

A⊂B，即事件A发生必然导致事件B发生，称为事件B包含事件A。在掷骰子试验中，若事件A是X=5、事件B是X＞4，则有A⊂B。

（2）和事件

事件A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}称为事件A与事件B的和，即当且仅当A和B中至少有一个发生，事件A∪B就会发生。

（3）积事件

事件A∩B={ω|ω∈A且ω∈B}称为事件A与事件B的积，即当且仅当A和B同时发生，事件A∩B发生，通常A∩B简写为AB。

（4）互不相容事件

若A∩B=Ø（这里Ø表示空集，不可能事件），则称事件A与事件B互不相容（也可称为互斥），即事件A与事件B不可能同时发生。

（5）对立事件

若A∩B=Ø且A∪B=Ω，则称事件A与事件B互为对立事件（也称为逆事件）。这是指对每次试验，事件A与事件B必有一个发生，且仅有一个发生。事件A的对立事件记为。

（6）差事件

事件A-B={ω|ω∈A且ω∉B}称为A与B的差事件，当且仅当A发生而同时B不发生。结合对立事件的概念，可有A-B=，=Ω-A。

进行事件运算时，相应的运算规则有：

1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA。

2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A(BC)=(AB)C。

3）分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A(B-C)=(AB)-(AC)。

4）吸收律：若A⊂B，则有AB=A,A∪B=B。

5）德·摩根公式：。

以上事件运算规则可推广到有限个或可列无穷多个事件的情形。