2.5.4 闭环控制系统的误差传递函数

闭环控制系统的误差e(t)，定义为给定输入信号r(t)与反馈信号b(t)之差，即

误差e(t)的大小反映了控制系统的控制精度。因此有必要研究e(t)与输入信号r(t)和干扰输入信号n(t)之间的数学关系。它们之间的关系用误差传递函数来描述。

（1）R(s)作用下系统的误差传递函数

令N(s)=0，以E(s)为输出量，则图2-62可变为图2-65，此时系统的误差传递函数为

（2）N(s)作用下系统的误差传递函数

令R(s)=0，则图2-62变换为图2-66，在N(s)作用下的误差传递函数定义为Φ_en(s)=E(s)/N(s)，由图2-66可得到

由叠加原理求得系统的在给定输入r(t)与干扰输入n(t)同时作用下系统总的误差的拉普拉斯变换式为

比较式（2-123）、式（2-125）、式（2-129）、式（2-130）可以发现，这4个闭环传递函数的分母都相同，因为是同一系统，各个闭环传递函数的分母都相等，等于“1+开环传递函数(G₁(s)G₂(s)H(s))”，差别只是各闭环传递函数的分子，即各输入到输出的前向通道传递函数不同。

将式（2-120）代入式（2-123）可得到

由拉普拉斯变换可知，控制系统闭环传递函数的分母多项式，即系统微分方程的特征多项式D(s)，等于系统开环传递函数分母多项式与分子多项式之和，即D(s)=N(s)+M(s)。由于n>m，所以闭环特征多项式D(s)也是n阶的。Φ(s)的分子多项式M_Φ(s)=G₁(s)G₂(s)N(s)，若闭环系统是单位负反馈的，即H(s)=1，则M_Φ(s)=M(s)，否则M_Φ(s)≠M(s)。将D(s)展开并进行因式分解可得到

可见，闭环系统有n个闭环极点s_i（i=1，2，…，n），闭环极点s_i（i=1，2，…，n）与开环极点p_i（i=1，2，…，n）个数相等，其值则由开环极点、开环零点及开环根轨迹增益共同决定。闭环传递函数的极点s_i（i=1，2，…，n），即闭环系统特征方程D(s)=0的根。通过上述分析可知，令开环传递函数分母多项式与其分子多项式的和为零，即可得到闭环系统微分方程的特征方程