2.3.4 典型环节的传递函数
数学模型是研究控制系统动态特性的基础和重要手段，控制系统都是由各种各样、不同种类的元件和装置构成，在建立数学模型的过程中，可以发现很多不同实际结构、物理过程的元器件和装置具有相同的微分方程、传递函数形式，这是因为它们具有相同形式的动态特性。控制系统中常见的元件和装置依照动态特性或者数学模型来分类，不管元件或者装置是机械的、电气的、液压的、电子的或者光学的等其他形式，只要它们的数学模型形式一样，就认为它们是同一种典型环节。从动态特性来看，自动控制系统、被控对象和控制装置都可看成是由下列为数不多的几种典型环节按不同的连接方式组合而成的。这里所说的“连接”，是指信号的传递关系，而不是具体结构上的联系。
应该指出，由于典型环节是按照数学模型的共性来划分的，它与具体元器件不一定都是一一对应的。逐个研究和掌握典型环节的特性，就不难进一步研究整个系统的特性。
1.比例环节
比例环节是控制系统中最基本、最常见的一类典型环节，其动态方程为代数方程
式中，r(t)为比例环节的输入信号；у(t)为比例环节的输出信号；K为常数，称为放大系数或增益，则比例环节的传递函数为
图2-13 比例环节阶跃响应曲线
a）阶跃信号 b）阶跃响应
从比例环节的数学模型可以看到，它的输出是以K倍幅值对输入信号进行无延迟、无失真的复现。如果输入信号为式（2-54）所描述的阶跃信号
则比例环节的输出如图2-13b所示，可以看到，输出信号和输入信号的波形相同，且没有延迟。在实际的控制系统中，很多元件和设备在理想化条件下都具有比例环节特性，如电位器、输入信号为转速的测速发电机、杠杆以及图2-12所示的比例放大器等。
例2-11 试求图2-14所示电位器的传递函数。
图2-14 电位器
解：图2-14所示电位器是一个将角位移或线位移转换成电压信号的装置，在空载时，电位器的角位移与输出电压的关系为
式中，E是电源电压；θmaX是电位器最大工作角度；K=E/θmaX是电位器传递系数。对式（2-55）进行拉普拉斯变换，得到电位器的传递函数为
可见电位器是典型的比例环节。
例2-12 试求图2-15所示误差检测器的传递函数。
解：由一对相同的电位器，可以组成一个误差检测器，如图2-15所示，误差检测器的输出电压为
式中，K为电位器的传递系数；Δθ(t)是两个电位器电刷滑臂角位移之差，称为误差角。如果以误差角为输入信号，误差检测器的输出电压u(t)为输出信号，则由式（2-57）可得误差检测器的传递函数为
例2-13 试求图2-16所示直流测速发电机的传递函数。
图2-15 误差检测器
图2-16 直流测速发电机
解：直流测速发电机常常用作控制系统的反馈部件，它是将角速度转换为电压信号的装置，测速发电机的转速越大，则输出的电压就越大，由图2-16有
则测速发电机的传递函数为
式（2-60）和式（2-61）是分别以发电机转速和转角为输入量的直流测速发电机的传递函数，显然以式（2-60）描述的测速发电机才是一个比例环节。可见，对于同一个部件，关注不同的输入信号和输出信号，因其数学模型是不一样的，要划归为不同类型的典型环节。
被控对象的动态特性不可能只用比例环节描述，但希望执行机构、检测装置都具有比例环节的动态特性，具有比例环节动态特性的比例控制器是最基本、最简单的控制器。
2.积分环节
当输出信号与输入信号的积分成正比时，称其为积分环节。设r(t)为输入，у(t)为输出，则积分环节的动态方程为
式中，T称为积分时间常数；K=T1称为积分速度或积分系数。积分环节的传递函数为
积分环节的阶跃响应为
如图2-17b所示，积分环节的阶跃响应随时间线性增长；у(t)达到输入r(t)幅值所需的时间就为积分时间常数T的值，即у(t)|t=T=r(t)。显然，T值越大，响应у(t)曲线的斜率越小，у(t)变化越慢，当输入信号在某一时刻ti消失，积分停止，积分环节的输出就保持在у(ti)不再改变，故积分环节具有“记忆”特性。
图2-17 积分环节的记忆特性
a）阶跃信号 b）阶跃响应
积分特性可能存在于被控对象中，积分特性也常用作改善系统性能的辅助控制作用。应注意的是，积分环节具有饱和的特点，以上线性变化的阶跃响应及其记忆特性都是饱和前的特性。
3.微分环节
理想微分环节的动态方程为
式中，r(t)为理想微分环节的输入信号；у(t)为理想微分环节的输出信号；Td是微分环节的微分时间常数。理想微分环节的传递函数为
如果理想微分环节的输入信号为式（2-54）的阶跃信号，则其输出响应为
所以理想微分环节的阶跃响应是一个面积为TdR的脉冲信号，如图2-18b所示。
图2-18 理想微分环节阶跃响应曲线
a）阶跃信号 b）阶跃响应
在实际情况下，物理元器件和装置都不可能在阶跃信号输入的瞬时，输出无穷大的且持续时间趋于零的信号，所以，理想微分环节动态特性在实际情况中是较难实现的。但是有些元器件或电路的数学模型形式也的确是理想微分环节，如例2-13中的直流测速发电机，当关注的输入是发电机转角θ(t)和输出电压u(t)时，由式（2-61）描述的直流测速发电机就是典型的理想微分环节。又如电感元件其电感电压uL(t)和电流i(t)之间的微分方程和传递函数为
可见其也是理想微分环节。
被控对象不可能具有微分特性，但常利用微分特性作为改善系统性能的又一辅助控制作用。
由于理想微分环节难以实现，所以实际情况中多用具有近似微分特性的实际微分环节来代替理想微分环节，实际微分环节可由如图2-19a所示RC无源网络实现，其阶跃响应曲线如图2-19b所示，由实际微分环节的电路图可得到其传递函数为
图2-19 实际微分环节及其阶跃响应曲线
a）实际微分环节 b）阶跃响应
式中，Td=RC，当选较小的Td，即Td《1时，G(s)≈Tds，所以可以用此电路作为理想微分环节来使用。
4.惯性环节
惯性环节又称为非周期环节，其动态方程为
式中，r(t)为惯性环节的输入信号；у(t)为惯性环节的输出信号；T是惯性环节的时间常数；K是惯性环节的放大系数。惯性环节的传递函数为
如果惯性环节的输入信号为式（2-54）的阶跃信号，则其响应输出如图2-20b所示，从图中可以看到，惯性环节的阶跃响应是一个非周期曲线，其输出不能立即跟随输入量的变化，存在着惯性，且时间常数T越大，其惯性越大，随着时间的增加，惯性环节的输出最终趋于新的平衡。
图2-20 惯性环节阶跃响应曲线
a）阶跃信号 b）阶跃响应
惯性环节的实例很多，例2-1中的RC无源网络、式（2-38）所示机械转动系统、式（2-41）和式（2-42）描述的电枢控制他励直流电动机都是典型的惯性环节，例2-5线性化后由一阶线性微分方程描述的单容水箱也是惯性环节。工程实际中大多数被控对象的动态特性可用一个或多个惯性环节描述。
5.一阶微分环节
一阶微分环节的动态方程为
式中，r(t)为一阶微分环节的输入信号；у(t)为一阶微分环节的输出信号；Td是一阶微分环节的微分时间常数。一阶微分环节的传递函数为
图2-21 所示的有源网络电路由比例环节和一阶微分环节组成，其传递函数为
式中，Kp=R2/R1，是这个有源网络电路的放大增益；Td=R1C是一阶微分环节的时间常数。其阶跃响应曲线如图2-22b所示。这个有源网络经常用做控制器，称为比例-微分（PD）控制器。
图2-21 比例-微分环节
图2-22 一阶微分环节阶跃响应曲线
a）阶跃信号 b）阶跃响应
6.振荡环节
振荡环节的动态方程为
式中，r(t)为振荡环节的输入信号；у(t)为振荡环节的输出信号；K是振荡环节的增益；T是振荡环节的时间常数；ζ称为振荡环节的阻尼比。振荡环节的传递函数为
如果振荡环节的输入信号为式（2-54）的阶跃信号，则其响应输出如图2-23b所示，从图中可以看到，振荡环节的阶跃响应具有衰减振荡特性。例2-2中的弹簧-质量-阻尼系统就是典型的振荡环节。图2-24所示的RLC振荡电路也是典型的振荡环节，其传递函数为
式中，
；
；K=1。
图2-23 振荡环节阶跃响应曲线
a）阶跃信号 b）阶跃响应
图2-24 RLC振荡电路
实际被控对象的动态特性很少有振荡特性，但满足稳、准、快要求的大多数控制系统的阶跃响应都可近似于具有一定阻尼比的振荡环节的响应特性。
7.延迟环节
延迟环节的动态方程为
式中，r(t)为延迟环节的输入信号；у(t)为延迟环节的输出信号；τ是延迟环节的延迟时间。延迟环节的传递函数为
如果延迟环节的输入信号为式（2-54）的阶跃信号，则其响应输出如图2-25b所示，从图中可以看到，延迟环节的输出具有和输入一样的波形，只是输出比输入有一个时间上的延迟，其延迟时间为τ。
例2-14 图2-26是轧钢时检测钢板厚度的厚度检测示意图，由于检测器所在的位置B点离轧辊所在位置A还有一段距离L，当在A点轧好的钢板以速度v传送到检测点B处时，厚度检测器才可以检测到钢板的厚度，B点检测输出的钢板厚度应该与A点处的钢板厚度相等，只是检测器的输出会有一个时间上的延迟。所以有
图2-25 延迟环节阶跃响应曲线
a）阶跃信号 b）阶跃响应
图2-26 钢板厚度检测示意图
所以其传递函数为
如果将延迟环节的传递函数式（2-78）进行泰勒级数的展开，有
当延迟时间τ很小的时候，可见此时延迟环节等效于一个惯性环节
显然，控制器本身是不允许存在延迟的，但测量过程、被控对象、传热、传质的生产过程等，常常存在难以避免且不可忽略的延迟，其动态特性需要由延迟环节描述。延迟过大往往使控制系统性能全面恶化，甚至导致系统失去稳定。
综上可见，不同的装置、元器件，可具有相同的动态特性，从而具有相同的数学模型形式，称它们为同一类典型环节。同一装置或元器件，在不同的场合，转换信号时，对不同的输入量或输出量，数学模型也不同，则应分别划归为不同的典型环节，如测速发电机，又如以电枢电压为输入、转速为输出的直流电动机是一个惯性环节，而当以转角为输出时的直流电动机G(s)=Θ(s)/Ua(s)=Km/s(Tms+1)则是积分环节与惯性环节的组合了。