1.3　广义系统

广义系统又称为奇异系统（Singular System）、描述系统（Descriptor System）、隐式系统（Implicit System）、广义状态系统（Generalized State-Space System）、半状态系统（Semistate System）及微分代数系统（Diferential-Algebraic System）等。一般认为广义系统是1974年由Rosenbrock H首先在英国出版的International Journal of Control上发表的“Structural Properties of Linear Dynamical Systems”一文中提出的，其所描述的实际背景是复杂的电网络系统，文章研究了线性广义系统的解耦零点及系统受限等价性问题[60]。接着，Luenberge D G和Arbel A分别发表文章，对（线性）广义系统解的存在性和唯一性等问题展开研究[61]，从此，拉开了对广义系统研究的帷幕。广义系统并非凭空想象出来的，它是对实际应用中存在的一类问题的比较精确的模型描述。人们发现，用广义系统来描述与刻画实际应用中经常遇到的一些系统比用线性正常系统更自然、方便、精确。随着现代控制理论与应用研究的深入，以及计算机的发展及其在工程实际中的广泛应用，人们越来越多地认识到广义系统对系统理论研究的重要性，并发现广义系统在化工系统、电力系统、经济系统、复杂电路与人工神经网络、受限力学系统等中的广泛应用[8, 10, 32, 62, 63]。广义系统是描述与刻画实际系统的有力工具，广义系统模型的提出具有深刻的实际应用背景。

广义系统通常用微分方程或差分方程的形式对系统的模型进行数学描述。其一般形式为

式中，x、u和t分别是状态向量、输入向量和时间变量，f(x,u,t)和g(x,u,t)是x、u和t的n维向量函数，E(x,t)∈Rn×n。当rank[E(x,t)]=n时，通过适当的数学运算，系统（1.3.1）可转化成正常系统。当rank[E(x,t)]<n时，称系统（1.3.1）为广义系统[8]。

正常系统与广义系统之间有本质的区别，以连续系统为例，主要体现在以下几个方面[64]。

（1）广义系统（1.3.1）的解通常由三部分组成：对应于有穷极点的指数解、对应于无穷极点的脉冲解和静态解，以及输入函数的导数项。而正常系统只有指数解。在离散情况下，广义系统（1.3.1）的解不仅需要t时刻以前的信息，还需要t时刻以后的信息，即离散广义系统不再具有传统的因果性。

（2）正常系统的动态阶为n阶（等于系统的维数），而广义系统的动态阶为rank(E)阶（一般小于系统的维数，等于rank(E)）。

（3）正常系统的传递函数矩阵为真有理分式矩阵，而广义系统的传递函数矩阵通常由真有理分式矩阵和指数大于1的多项式矩阵两部分组成。

（4）一般正常系统满足初值问题解的存在唯一性，而广义系统初值问题解的存在唯一性称为初值问题解的可处理性及初始函数的相容性。广义系统对解的初值问题，会出现有解存在、无解或有无穷多解的情形。即使有解存在，其解也常常出现跳跃和脉冲，故通常要求广义系统是正则的。

（5）广义系统具有层次性，一层为系统对象的动态特性（由微分/差分方程描述，或称为系统的慢变部分），另一层为系统对象的静态特性（由代数方程描述，或称为快变部分）。而正常系统没有静态特性。

（6）广义系统有两类极点：一类是有穷极点，共有q=deg(det(sE-A))=个；另一类是无穷极点，共有(n-q)个，这些无穷极点又可分为动态无穷极点和静态无穷极点。而正常系统只有n个有穷极点。

（7）在系统结构参数的扰动下，正常系统可以有系统的结构稳定性，而广义系统通常不再具有结构稳定性。

（8）正常系统可以满足Lyapunov意义下的稳定性、镇定性，而广义系统不一定满足一般意义下的Lyapunov稳定性与镇定性。

通过以上比较可知，广义系统在结构上更复杂，因此研究起来比较困难而富于挑战性，因此激发了国内外众多学者的兴趣，而且迄今为止已经取得了丰硕的研究成果。

自广义系统被提出以来，学者们对它进行了广泛而深入的研究。迄今为止，研究广义系统有三种典型的方法：几何方法[65]、频域法[66]、状态空间法[67]。几何方法是Wonham W M[68]针对线性系统提出的，后来被Lewis F[65]推广到广义系统。几何方法将广义系统转化为状态空间中的几何问题从而进行研究。它的优点是对系统结构有着独到的刻画，简洁明了，避免了状态空间中大量繁杂的矩阵推导运算，且所产生的结果都可以转化为矩阵运算，但是对系统鲁棒性问题的分析能力非常薄弱。频域方法也称多变量频域法，它对广义系统采用频率域的系统描述和频率域的计算方法进行研究。频域方法具有物理直观性强和便于设计调节等优点。由于状态空间方法在正则系统鲁棒稳定性研究中越来越完善，因此许多学者把许多正则系统的状态空间理论推广到广义系统，建立了基于时域的广义系统状态空间方法，使得广义系统的研究得到了快速发展[67, 69]。Dai首次利用状态空间法得到了基于参数矩阵结构特性的广义标称系统唯一解、无脉冲解存在的充分条件，并提出广义系统鲁棒稳定性的定义，也就是广义系统的解在时段上是唯一的、无脉冲的并且渐进稳定的，这奠定了广义系统研究的基础。Lewis F通过状态空间法，利用广义的Lyapunov稳定性理论，得出了基于Riccati方程的线性广义标称系统鲁棒稳定的充分必要条件[70]。后来Takaba K提出了应用范围更为广泛的鲁棒稳定且系统可观的充分必要条件[71]。不过Riccati方程组的求解比较困难，后来出现了线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）[28]，很多学者提出了基于LMI的更为简洁的方法，其中Masubuchi I得出的条件具有代表性[72, 73]。

从20世纪90年代初至今，广义系统的研究从基础向纵深发展，从线性到非线性，从连续到离散，从确定性到不确定性，从无时滞到时滞，从线性二次型最优控制到H2和H∞控制等各个专题，取得了丰硕的成果。1997年，张庆灵教授出版了广义大系统分散控制方面的专著[74]。2003年和2004年，张庆灵教授相继又出版了《不确定广义系统的分析与综合》[75]和《广义系统》[76]两部专著，专著中有很大一部分成果是近几年来关于广义系统的最新研究成果。徐胜元在其博士论文中系统地研究了广义系统的鲁棒控制理论，提出了一些新的概念与设计方法，得到了一些较为深刻的研究结果，为进一步完善与丰富广义系统理论起到了一定的促进作用[9]。由于时滞与不确定存在于自然界的很多实际系统中，许多广义系统也存在不确定和时滞因素，许多学者对其进行了深入的研究。Xu S和Lam J等基于唯一解、无脉冲解存在的充分条件，通过研究参数矩阵模型，针对一类不确定结构的广义系统得到了广义系统鲁棒稳定的充分条件[77]。Zhu W针对状态滞后的广义系统，通过研究系统矩阵的谱半径范围，得到了基于广义摄动理论的广义系统鲁棒稳定的充分条件[78]。Xu S针对一类参数不确定性及状态滞后的广义系统，通过广义的有界实引理理论，得到了广义系统鲁棒稳定与鲁棒二次镇定的充分条件[79]。采用矩阵分解的方法，Fridman E研究了未知时滞的不确定广义系统的鲁棒控制器的设计问题，并且把所得结果与其他结果进行了比较，得出了设计的控制器保守性减小的方法[80]。鲁仁全等用Lyapunov-Razumikhin、Lyapunov-Krasovskii稳定性理论及凸优化等重要理论，基于Barbalat引理及非奇异线性降阶变换，以线性矩阵不等式作为研究的工具，提出了奇异系统鲁棒稳定性、输入/输出稳定性、鲁棒D-稳定的判据，研究了鲁棒控制器、滤波器、最优保成本控制器的设计问题[81-85]。Zhou W等讨论了广义不确定时滞系统的时滞相关鲁棒H∞控制问题、不确定离散广义系统的稳定系统问题及广义不确定系统的保成本控制问题，而且所得结果没有对任何原始矩阵进行分解[18, 86-89]。

总之，广义系统的研究已经取得大量的成果，但是相对于正常系统而言，广义系统还有很多理论问题和实际问题需要解决，所以广义系统研究的前景是广阔的。