2.4　量子场论基础

2.4.1　拉格朗日作用量

量子场论用于描述各种粒子的性质、运动和变化，及其相互作用和转化。它描述粒子的主要参数是时空坐标(t,x,y,z)。时空中产生和湮灭的粒子表现为量子性的场，而粒子的相互作用表现为场的耦合，粒子的不同特性表现为场的对称性和变换性。所以量子场论是关于粒子体系的动力学模型。

在构造粒子体系的动力学模型时，应遵循下述原理。

（1）量子性原理。微观粒子无不具有量子性，而描述粒子的场量是算符，这些算符应该遵守一定的对易关系。

（2）相对性原理。微观粒子的运动速度接近光速，量子场方程应满足洛伦兹变换下的协变性和时空中的对称性。

（3）定域规范不变性原理。粒子间在通过交换规范粒子传递相互作用时应遵循定域规范不变性原理。

（4）可重整化原理。任何量子场论的模型都是可重整化的。

（5）内部空间对称性原理。假定粒子的内部空间是由特定的、对称的场构成的。

（6）对应性原理。当粒子数为1时应能给出量子力学的结果。

闵氏空间是平直空间，空间线元是

或者

式中，，是闵氏度规。物理量对坐标的逆变微商和协变微商分别写作：

两矢量的内积为

达朗贝尔算符为□=；能量-动量矢量为。

系统的拉格朗日作用量为

它是一个洛伦兹不变量。式中，L是拉格朗日密度，是一个标量。拉格朗日函数为

设坐标的变化为，，所以雅可比式为

此外，场量的变化为，L亦随之变化，即

式中，用表示坐标不变时的变分，即，。

所以拉格朗日作用量的变分为

最后可得

在时空的边界显然有，=0，故式（2.4.6）等号右边的后两项为零，而L/L/也应为零。由此可得场的运动方程，即拉格朗日方程为

与场变量共轭的正则动量定义为

哈密顿量定义为

式中，是哈密顿密度。哈密顿正则方程为

其与拉格朗日方程等价。1918年诺特证明了一个重要定理：若场的连续变换保持作用量不变，则存在与变换相对应的守恒流，使，守恒流不随时间变化，预示着存在一个守恒荷Q：

2.4.2　标量场的量子化及规范变换

若是实标量场，则为了量子化，应先写出其拉氏密度，即

式中，的波动方程正是克莱因-戈登方程，即

其解为

正则动量为

哈密顿密度为

根据正则量子化规则可得它们的正则对易关系为

式（2.4.13）的通解为

式中，相加的两项中第二项是第一项的厄米共轭，并且是正频项，是负频项，且

显然有

可以证明和都是洛伦兹协变的。

若是复标量场，则为了量子化，也应先写出其拉氏密度，即

L显然是的泛函，为互相独立的场变量，其拉氏方程分别为

与共轭的正则动量分别为

场的哈密顿密度为

根据正则量子化规则，场算符具有下述对易关系：

协变对易关系为

可将复标量场表示为

则有

若场量为复数，则可展开为平面波：

式（2.4.28）并不要求正频项与负频项互为厄米共轭。可以解出：

易得其对易关系为

因为是两个独立变量，所以和描述的是两种玻色子。

由于在系统的边界处场量为零，由高斯定理和克莱因-戈登方程得哈密顿量为

设保持时空平移不变性，则场的能量-动量密度矢量为

对于ν=0和ν=1,2,3，分别有

将式（2.4.33）和式（2.4.34）合并，可得

对复数场规范变换为

式中，γ为实数。规范不变性要求拉氏密度不变。由

可得

式（2.4.38）中应用了满足的拉格朗日方程。令式（2.4.38）为零，可得4-维流矢量连续方程为

对于复标量场，4-维流矢量为

将连续性方程写作，可得守恒荷为

守恒荷与场的对应关系为

规范不变原理要求场方程在定域规范变换下形式不变，为此对作用于的算符进行变换，即

式中，是协变微商。若变换为，则

而复标量场的拉氏密度变为

如果场具有定域规范不变性，则必存在一个与之相互作用的场，如此引入的场叫作规范场。规范场是一种在粒子内部空间平衡相位变化的相位场。

2.4.3　麦氏场

麦氏场即电磁场。若场具有定域规范不变性，场方程在第二类规范变换下形式不变，则必存在与它耦合的规范场满足下述规范变换：

这种变换称为场的规范变换。若为复数场，则式（2.4.46）表示的变换仅是相位变而矢量长度不变的幺正变换。生成变换的算符可以互易的变换群称为阿贝尔群，而生成变换的算符不能互易的变换群称为非阿贝尔群。幺正变换群属于阿贝尔群，相应的U(1)规范场又称为阿贝尔规范场。

例如，由反对称张量所表示的麦克斯韦拉格朗日密度为

其在洛伦兹变换下不变，相应的场正是人们熟悉的麦克斯韦电磁场，这是一个阿贝尔规范场。麦克斯韦电磁场方程为

对场的附加条件叫作规范条件，常用的规范条件有洛伦兹规范、库仑规范和辐射规范，它们的数学表达式分别为

为了探讨电磁场的角动量，考虑场绕z轴转过γ角，则场点由x到达，坐标变换为

若绕轴转过α角，绕轴转过β角，则变换矩阵分别为

3次连续转动的总转动矩阵为上述3个矩阵之积。当α为无穷小时，总转动矩阵为

若令，则式（2.4.52）为

式中，，是角动量算符，有

其对易关系为

式中，是3-维3阶反对称张量。

为研究矢量场的自旋本征态，将角动量矩阵［式（2.4.53）］作用于空间坐标，得的共同本征态为，的本征值为。其中，=，分别是x轴、y轴、z轴方向的单位矢量。

矢量场是4-维矢量，其空间部分是3-维矢量，其变换为

拉朗朗日密度L在空间转动时守恒。由诺特定理得，而

将其代入守恒流密度公式，并对μ求和，得

式中，圆括号中正是场的动量密度。故式（2.4.57）可写作：

式中，，是轨道角动量密度；，是自旋角动量密度。式（2.4.58）表明，轨道角动量密度与自旋角动量密度之和构成的场的总角动量守恒。

与正则坐标共轭的正则动量的时间分量为零，即。正则动量不为零的只有空间分量，因为。场算符仅有和，二者的对易关系为

为了将洛伦兹规范正则量子化，把电磁场的拉格朗日密度L修改为

当λ=1时，式（2.4.60）可简化为

所以与共轭的正则动量为

正则化量子条件为

与正则坐标共轭的正则动量为

正则对易关系为

2.4.4　旋量场

实克莱因-戈登场仅有1个分量，复克莱因-戈登场有2个分量；麦克斯韦场有4个分量，是1阶张量；旋量场有4个复分量，构成4-维复空间。首先考虑外尔方程：

式中，是待定系数。式（2.4.66）是一阶偏微分方程，等号两边同乘以算符，得

令b=0，，式（2.4.67）变为

式（2.4.68）是二阶旋量方程。再令，其中是泡利矩阵，详细介绍参阅第1章。显然，。最后可得

式（2.4.69）就是外尔方程。

外尔方程的解满足达朗贝尔方程，所以外尔场描述以光速运动的无质量粒子。再者，泡利矩阵出现在外尔方程中，空间旋转不变性要求它们构成一个3-维空间矢量，而它们又与自旋为1/2的角动量成正比：

所以外尔场的两个分量构成的内部空间是粒子的自旋空间，描述自旋为1/2的粒子。此外，外尔方程有平面波解，故有，叫作粒子的螺旋度，分别表示粒子处于右旋态和左旋态。

从物理观点看，无质量粒子不可能通过参考系的洛伦兹变换把一个惯性系中的左旋态变成另一个惯性系中的右旋态，螺旋性守恒。左旋光子与右旋光子由麦氏方程统一描述，而质量为零、自旋为1/2的左旋粒子和右旋粒子由两个外尔方程分别描述。这是质量为零、自旋为1/2的粒子与光子的最大区别。

由空间反射变换和时间反演都可得外尔方程不变性的条件为

若同时进行空间反射P和时间反演T，则外尔方程的形式不变。

为了实现正、反粒子变换，因为，所以对外尔方程取复共轭再乘以，得

场的变换是

式中，是模为1的常数，；C是反幺正算符。与式（2.4.69）相比，式（2.4.72）等号右边相差一个负号，描述与螺旋性相反的粒子。式（2.4.73）和相应方程的变换式（2.4.69）→式（2.4.72）是质量为0、自旋为1/2的正、反粒子的变换。粒子在空间反射P变换下变号，在正反粒子C变换下也变号，故在CP变换下不变号。外尔方程在CP变换下具有不变性。

自由粒子的狄拉克方程描述正、反两种有质量、自旋为1/2的粒子，质量为0时简化成外尔方程。两外尔方程皆为耦合方程，它们可以合写为一个方程：

因为是4×4的厄米矩阵，σ是2×2的泡利矩阵，所以式（2.4.74）是4分量旋量方程，叫作自由粒子的狄拉克方程。在狄拉克表象中，式（2.4.74）为

还可以写成相对论协变形式：

式中，。

2.4.5　狄拉克方程的变换性质

现在推导狄拉克方程的相对论协变条件。在洛伦兹变换下，旋量空间的变换为

式中，A是4×4的幺正矩阵；是4分量旋量。以A作用于式（2.4.75）的第一式且代入，得

要求式（2.4.78）与式（2.4.75）的第一式具有同样的形式，则可以得到狄拉克方程的相对论协变条件：

在正规洛伦兹变换下，利用无穷小正规洛伦兹变换，即

4×4的幺正矩阵A可写作：

将式（2.4.81）代入式（2.4.79），并略去的二次项，得

根据矩阵的反对易性和反对称性得。于是可得

由此可证明狄拉克方程在洛伦兹变化下的协变性。

狄拉克旋量场的拉格朗日密度为

由它给出的狄拉克旋量方程及其共轭是

按照正则量子化规则，与正则坐标共轭的正则动量是，由此可写出旋量场算符正则对易关系。但是，这样得到的对易关系是坐标空间中玻色子产生算符与湮灭算符的对易关系，系统的态矢量对两个粒子的交换保持不变。粒子数密度算符的本征值并无什么限制，这与实验结果不符。

2.4.6　路径积分

牛顿力学有3种表述方式：①牛顿三定律。基本概念是力、质量和加速度，动力学方程为牛顿第二定律。②拉格朗日形式。基本概念是广义坐标、广义速度、拉格朗日函数，动力学方程为拉格朗日方程。③哈密顿正则形式。基本概念是正则坐标、正则动量、哈密顿函数，动力学方程为哈密顿正则方程。量子理论也有3种表述形式：薛定谔创立的波动力学，海森伯创立的矩阵力学，以及费曼创立的路径积分形式。

我们知道，因为，所以。由此可得

这就是高斯积分。对式（2.4.86）中的求n次导数，得

因此的均值为

由式（2.4.86）可得有源高斯积分为

n-维实空间中的高斯重积分是

式中，，是n-维矢量；k是n×n阶矩阵。线性变换要求xkx，即k=s，dets=(detk)，这要求k是对称矩阵，即。作换元积分，然后代入雅可比行列式dets=(detk)，得

根据泛函理论可以证明量子场论中心等式，即

以及

格拉斯曼代数的核心是一个变量的平方总是等于0，犹如两个重叠线段的面积为0。这意味着，，，表示两个代数量成反对易关系。费米子遵守泡利不相容原理，即两个费米子不能占据同一个量子态，而玻色子则不然，它们“宽容大度”，允许多个玻色子“坐在同一把椅子上”。格拉斯曼代数恰能表达玻色子的这一性质。格拉斯曼数又称q数，其乘法满足反对易关系：

格拉斯曼积分具有平移不变性，即

由式（2.4.95）易得

而ξ与的乘积为

设格拉斯曼函数是，则有

格拉斯曼函数对ξ的积分为

比较式（2.4.100）和式（2.4.99）的第一式可以发现，格拉斯曼函数对同一个变量的微分与积分结果相同。

现在可以谈论费曼积分了。用量子态或者场代替运动路径，粒子从A点到达B点，可能的路径很多，可以认为无限多，那么到底经过了哪条路径？都有可能！费曼假定，粒子经过不同路径的概率是相等的，只是相位不同。U(t)表示与路径 X(t)相应的作用量，写出概率振幅，然后利用叠加原理对所有路径上的振幅求和，和的平方便是粒子从A点到达B点的概率。

设系统的哈密顿算符为H，系统的时间演化算符是

将时间段分成N部分，，当N→∞且时，时间演化算符为

坐标表象中的波函数为

式（2.4.104）称为跃迁振幅变换函数，表示时刻处于的系统在t时刻跃迁到q的概率幅度。将式（2.4.102）代入式（2.4.104）的第二式，运用基矢完备性公式，得

其中因子可以写作：

这里代入了动量本征态波函数。而H(p,q)定义为

把式（2.4.106）代入式（2.4.105）（注意当N→∞，时，）得

式中，

式（2.4.108）表示在时间时q(t)和p(t)分别在坐标空间和动量空间跑遍端点和之间的所有路径的一个无限维泛函积分，这是一个路径积分。

如何根据H(p,q)的表达式对p(t)进行路径积分呢？请看费曼公式。设

则式（2.4.108）变为

式中，

将式（2.4.112）代入式（2.4.111）得到关于跃迁振幅的费曼公式：

式中，

费曼公式也可推广到多自由度情形，这时有

费曼公式也可写作：

本章仅介绍了量子场论的基础，希望读者在此基础上进一步研读。需要重点了解的内容包括散射问题的路径积分，标量场的路径积分，费曼图，旋量场的路径积分，散射振幅与费曼图，格林函数的费曼图，S矩阵，重整化。