第三节 资金等值计算及其应用
一、资金等值的含义
由于资金有时间价值，因而一定量的资金在不同时点上具有不同的价值。不同时点上发生的绝对额不同的资金，有可能具有相等的经济价值。因此，我们将特定利率下，资金在不同时点上发生的绝对数额不相等但经济价值相等的现象称为资金等值。而资金的等值计算是指将一个或多个时点上发生的资金额换算成另一个时点上等值的资金额。
资金等值的影响因素包括以下三个方面：资金数额的大小；资金发生的时点；利率的大小。在这三个因素中，利率是关键因素，在处理资金等值问题时必须以相同利率作为比较计算的依据。
资金的等值计算本质上与复利计息相同，下面首先介绍整付型和等额分付型两种基本类型的等值计算方法，然后介绍两个特殊情况下的变额分付型现金流量系列。
二、整付类型的资金等值计算
整付又称一次支付，是指所分析系统的现金流量，无论是流入或是流出，均只发生一次的现金流量类型，如图2-8所示。图中，P是现值，表示资金发生在某一特定时间序列起始点上的价值。在工程经济分析中，它表示发生在现金流量图中“0”点的资金或投资项目的现金流量折算到“0”点时的价值。F是终值，表示发生在某一特定时间序列终点上资金的价值，是指期初或期间发生的资金换算得出的在期末的价值。n表示计息周期数。i表示计息周期利率，也叫折现率。
图2-8 整付类型的现金流量图
在考虑资金时间价值的情况下，现金流入F与现金流出P相等，则P与F就是等值的，此时P是F的现值，F是P的终值。
（一）整付终值公式
整付终值公式是在图2-8所示的现金流量方案中，已知现值P，计息周期利率i和计息周期数n，求终值F的公式。该公式与复利计算时的本利和公式相同，即：
式中，（1+i）n称为整付终值系数，记为（F/P，i，n），在（F/P，i，n）中，斜线右边的字母表示已知的参数，左边表示待求的等值现金流量。所以式（2-34）也可以用下式表示：
【例2-11】
背景：某公司向银行借款1000万元，年利率8%，借款期5年。
问题：5年后应一次偿还多少才与现在的借款等值？
解析：F=P（1+i）n=1000（1+8%）5 =1469.328（万元）。即现在向银行的借款1000万元，在年利率8%的前提下，与5年后的1469.328万元在价值上是相等的。
（二）整付现值公式
整付现值公式是在图2-8所示的现金流量方案中，已知终值F，计息周期利率i和计息周期n，求现值P的公式。该公式是整付终值公式的逆运算，即：
式中，（1+i）-n称为整付现值系数，记为（P/F，i，n），它与整付终值公式互为倒数：
式（2-36）也可以表示成：
【例2-12】
背景：某人准备在3年后用100000元购买一辆轿车，年利率为5%。
问题：如果现在一次性存入一笔钱用于三年后买车，应存多少？
解析：P=F（1+i）-n=100000×（1+5%）-3=86383.760（元）。即年利率5%的前提下，现在的86383.760元与3年后的100000元在价值上是相等的。
三、多次分付类型的资金等值计算
在计算期内，现金流入或流出不止发生一次的现金流量类型，称为多次分付类型。如果多次分付的现金流连续发生在整个计算期的各期期末，并且数额相等，这类特殊的多次分付现金流就称为等额分付现金流，如图2-9所示；不满足等额分付现金流特征的称为非等额分付现金流。下面分别阐述等额分付和两类特殊的非等额分付现金流的等值计算。
图2-9 等额分付类型现金流量图
（一）等额分付等值计算
从图2-9可以看出，等额现金流量的第一笔现金流发生在第一期末，距离“0”点一个计息周期；最后一笔现金流发生在最后一个计息期末。我们把整个计算期内的n个相同的现金流A统一称为年金。
需要指出的是，虽然A称为年金，但计息周期不一定是年，也可以是季、月等任何时间周期。i表示计息周期利率。
1.等额分付终值公式
已知图2-10中的年金A、计息周期利率i和计息周期n，如果在第n期末一次回收这n笔等额的投资金额，其所回收的等值终值F的计算公式称为等额分付终值公式。
图2-10 等额分付及其终值现金流量图
用整付终值公式依次将每一笔A折算到终值F，有：
上式两边同时乘以（1+i），得到
②-①得到
由此可推出等额分付终值公式：
称为等额分付终值系数，记为（F/A，i，n），所以也有：
【例2-13】
背景：某人从现在起每年年末存入银行20000元，年利率5%，连续存款10年。
问题：第10年年末一次能从银行取出的本利和为多少？
解析：F=A
=20000×
=251557.851（元）。即年利率5%的前提下，连续10年每年年末的20000元与第10年年末的251557.851元在价值上是相等的。
2.等额分付偿债基金公式
已知图2-10中的终值F、计息周期利率i和计息周期n，求连续的n个计息周期末的年金A的问题，用等额分付偿债基金公式计算。显然，等额分付偿债基金公式是等额分付终值公式的逆运算，即：
称为等额分付偿债基金系数，记为（A/F，i，n），所以也有：
【例2-14】
背景：某人今年刚满40岁，他期望满60岁时能有500000元安排退休后的生活，银行存款年利率5%。
问题：从现在起，他需要在每年过生日时存入银行多少钱才能实现60岁生日时拥有500000元安排退休生活的愿望？
解析：A=F[
]=500000×[
]=15121.294（元）。即年利率5%的前提下，连续20年每年年末的15121.294元与第20年年末的500000元在价值上是相等的。
3.等额分付现值公式
已知图2-11中的年金A、计息周期利率i和计息周期n，如果将这n笔等额的投资金额都折现到“0”时刻，其等值的现值P的计算公式称为等额分付现值公式。
图2-11 等额分付及其现值的现金流量图
等额分付现值公式可由等额分付终值公式F=A[
]求出年金A的等值终值，再由整付现值公式P=
把终值折现成现值。即：
P=F[
]=A[
][
]，整理后得到等额分付现值公式如下：
式中，
称为等额分付现值系数，记为（P/A，i，n），所以也有：
【例2-15】
背景：银行批准购房贷款的最大额度通常是根据贷款人的还贷能力来确定的。某单位的一名员工为购房每年年末可用于还贷的金额为80000元，银行贷款年利率6%，贷款年限20年。
问题：现在这名员工申请购房贷款，可获批的最高贷款额度是多少？
解析：P=A[
]=80000×[
]=917593.697（元）。即年利率6%的前提下，连续20年每年年末的80000元整体与年初的917593.697元在价值上是相等的。
4.等额分付资本回收公式
已知图2-11中期初投资P，利率为i的条件下，每期末等额收回的资金A是多少的计算公式称为等额分付资本回收公式，是等额分付现值公式的逆运算。
式中，
称为等额分付资本回收系数，记为（A/P，i，n），所以也有：
【例2-16】
背景：一套总价为180万元的住房贷款，其中70%申请期限为20年、年利率为5%的银行贷款，约定按月等额还款。
问题：每月银行需收回多少还款？
解析：计息周期小于利率周期，月名义利率等于月实际利率，等于i月=5%÷12=0.4167%；计息周期数n=20×12=240（月）；现值P=1800000×70%=1260000（元），代入
A=P[
]=8315.442（元）。即年利率5%的前提下，连续240个月每月末的8315.442元整体与期初的1800000×70%=1260000（元）在价值上是相等的。
（二）变额分付现金流的等值计算
变额分付系列现金流是指现金流序列是连续的，但其数额大小不等的系列现金流。变额分付较等额分付的计算过程复杂，这里只介绍等差序列和等比序列两类特殊的变额分付现金流等值计算公式。
1.等差序列现金流的等值计算公式
等差序列现金流是指在分析期内，每年年末发生的方向相同、大小成等差关系变化的现金流量序列。
如图2-12所示，在每一个计息期期末分别支付的值为A1 ，A2，…，An-1 ，An，它们是一个等差序列，其公差G=｜At -At-1 ｜＞0，t=1，2，3，…，n。设A1是初始值，当序列是递增序列时，有序列流量：A1==A1，，A2==A1++G，A3==A1 +2G，…，An-1 =A1 +（n-2）G，A1+2G，…，An-1=A1+（n-2）G，An=A1 +（n-1）G；当序列是递减序列时，有序列流量：A1 =A1，A2=A1-G，A3=A1 -2G，…，An-1 =A1 -（n-2）G，An=A1 -（n-1）G。在计息周期利率为i的情况下，等差系列现金流量等值计算的公式如下。
图2-12 等差系列现金流量图
（1）等差系列现值计算公式。分别将每期期末发生的现金流按一次支付现值系数求现值累加并整理计算后，可得到递增等差序列现金流量的现值公式：
递减等差序列现金流量的现值公式：
系数称为等差系列现值系数，记作（PG/G，i，n）。此时，式（2-47）和式（2-48）也可写成：
（2）等差系列终值计算公式。在式（2-47）和式（2-48）的左右两边乘以一次支付终值系数，得到等差系列终值公式。
递增等差序列现金流量的终值公式：
递减等差序列现金流量的终值公式：
系数
称为等差系列终值系数，记作（FG/G，i，n）。此时，式（2-51）可写成式（2-53）的形式，式（2-51）可写成式（2-54）的形式：
（3）等差系列年金计算公式。在式（2-47）和式（2-48）的左右两边乘以等额分付资本回收系数，得到等差系列年金计算公式。
递增等差序列现金流量的年金公式：
递减等差序列现金流量的年金公式：
系数
称为等差系列年金系数或梯度系数，记作（AG/G，i，n）。此时，式（2-55）可写成式（2-57）的形式，式（2-56）可写成式（2-58）的形式：
2.等比序列现金流的等值计算公式
等比序列现金流是指在分析期内，每年年末发生的方向相同、大小成等比关系变化的现金流量序列。
如图2-13所示，在每一个计息期期末分别支付的值为A1 ，A2，…，An-1 ，An，它们是一个等比序列，设A1是初始值，表示第1年年末的现金流量值，则有第t年年末的现金流量表达式为：
图2-13 比系列现金流量图
At=A1 ×qt-1t=1,2,3,…,n
其中，q=
。当序列是递增序列时，有q＞1；当序列是递减序列时，有1＞q＞0。
另设h是变化率，1 ＞h＞0，则q=1+h表示为等比递增系列，这种情况下q≠h；则q=1-h表示为等比递减系列。在计息周期利率为i的情况下，等差系列现金流量等值计算的公式如下。
（1）等比系列现值计算公式。分别将每期期末发生的现金流按一次支付现值系数求现值累加并整理计算后，可得到等比序列现金流量的现值公式：
将q=1+h代入式（2-59），得到当i≠h时的递增等比系列现金流量的现值公式：
将q=1-h代入式（2-59），得到递减等比系列现金流量的现值公式：
把
或
称为等比系列现值系数，记作（P/A1 ，i，h，n），则等比系列现值计算公式也可以写成：
（2）等比系列终值计算公式。在式（2-60）和式（2-61）的两边同时乘以一次支付终值系数，就可以推导得出等比系列终值公式。
当i≠h时，递增等比系列现金流量的终值公式为：
递减等比系列现金流量的终值公式为：
把
或
称为等比系列终值系数，记作（F/A1 ，i，h，n）。则等比系列终值计算公式也可以写成：
（3）等比系列的年金计算公式。在式（2-60）和式（2-61）的两边同时乘以等额分付资本回收系数，就可以推导得出等比系列的年金公式。
当i≠h时，递增等比系列现金流量的年金公式：
递减等比系列现金流量的年金公式：
把
或
称为等比系列年金系数，记作（A/A1 ，i，h，n）。则等比系列年金计算公式也可以写成：
四、资金等值计算的应用
下面从利率周期、计息周期和支付周期不同的等值计算应用和借款还本付息额计算应用两个方面作进一步阐述。
（一）利率周期、计息周期和支付周期不同的等值计算应用
利率周期和计息周期的含义在名义利率和实际利率部分已经做过介绍。支付周期是指研究系统先进流量的间隔周期。比如年利率12%，每月计息一次，每半年收入一笔现金，则利率周期是年，计息周期是月，支付周期是半年。
若计息周期小于支付周期，可以计算支付周期的实际利率，然后以支付周期的实际利率按等值计算公式计算。
【例2-17】
背景：年利率为12%，每月计息一次，从现在起，连续3年，每季度末均支付100万元。
问题：与这一系列现金流等值的现值为多少？
解析：i月=12%÷12=1%
i季=（1+1%）3-1=3.03%，n=12个月，A=100万元
P=A[
]=993.620（万元）
若计息周期大于支付周期，通常将各个计息周期内的现金流按单利折算到每个计息周期期末，然后按计息周期等于新的支付周期的情况计算等值。
【例2-18】
背景：12个月的现金流量如图2-14所示，若年利率为12%，每半年复利计息一次。
图2-14 12个月的现金流量图
问题：试计算以下3种情况下该系列现金流量的年末等值金额为多少？
（1）若计息期内的收付款不计息。
（2）若计息期内的收付款按单利计息。
（3）若计息期内的收付款按复利计息。
解析：i半年=12%÷2=6%
（1）若计息期内的收付款不计息。
第1个半年末的等值：
第2个半年末的等值：
年末等值为：
（2）若计息期内的收付款按单利计息。
第1个半年末的等值：
第2个半年末的等值：
年末等值为：
（3）若计息期内的收付款按复利计息，半年实际利率i半年=12%÷2=6%，根据（1+i月）6 -1=6%，i月=
-1=0.976%。
第1个半年末的等值：
第2个半年末的等值：
年末等值为：
（二）长期借款还本付息金额的计算
长期借款合同通常约定两种还本付息方式，一种是等额本息，即还款期内每期期末所还的本金与利息之和均相等；另一种是等额还本、利息照付，通常也称为等额本金，即还款期内每期期末所还的本金相同，利息按当期应付利息还款。
等额本息还款方式的还本付息金额计算步骤如下：先用等额分付资本回收公式计算还款期每期所还的本金与利息之和，然后计算各期的利息，最后用本息和减去利息后计算各期的本金。
【例2-19】
背景：某公司向银行借款100万元，贷款合同约定年利率6%，每半年计息一次，借款后的第2年年末开始，3年内每半年末按等额还本付息的方式还款。
问题：计算每次所还的本金、利息。
解析：i半年=6%÷2=3%
借款后第2年年末欠款合计：100×（1+3%）4=112.551（万元）
每次还款本利和：112.551×（A/P，3%，6）=20.777（万元）
第1次付息：112.551×3%=3.377（万元）
第1次还本：20.777-3.377=17.400（万元）
第1次还款后欠款合计：112.551-17.400=95.151（万元）
第2次付息：95.151×3%=2.855（万元）
第2次还本：20.777-2.855=17.922（万元）
第2次还款后欠款合计：95.151-17.922=77.229（万元）
第3次付息：77.229×3%=2.317（万元）
第3次还本：20.777-2.317=18.460（万元）
第3次还款后欠款合计：77.229-18.460=58.769（万元）
第4次付息：58.769×3%=1.763（万元）
第4次还本：20.777-1.763=19.014（万元）
第4次还款后欠款合计：58.769-19.014=39.755（万元）
第5次付息：39.755×3%=1.193（万元）
第5次还本：20.777-1.193=19.584（万元）
第5次还款后欠款合计：39.755-19.584=20.171（万元）
第6次付息：20.171×3%=0.605（万元）
第6次还本：20.171（万元）
等额本金还款方式的还本付息金额计算步骤如下：先用期初欠款合计除以还款的期数计算各期偿还的本金，然后计算各期的利息，最后用所还本金和利息之和计算各期的还本付息总额。
【例2-20】
背景：某公司向银行借款100万元，贷款合同约定年利率6%，每半年计息一次，借款后的第2年年末开始，3年内每半年末按等额还本、利息照付的方式还款。
问题：计算每次所还的本金、利息。
解析：i半年=6%÷2=3%
借款后第2年年末欠款合计：100×（1+3%）4=112.551（万元）
前5次每次还款本金：112.551÷6=18.759（万元）
第1次付息：112.551×3%=3.377（万元）
第1次还款后欠款合计：112.551-18.759=93.792（万元）
第2次付息：93.792×3%=2.814（万元）
第2次还款后欠款合计：93.792-18.759=75.033（万元）
第3次付息：75.033×3%=2.251（万元）
第3次还款后欠款合计：75.033-18.759=56.274（万元）
第4次付息：56.274×3%=1.688（万元）
第4次还款后欠款合计：56.274-18.759=37.515（万元）
第5次付息：37.515×3%=1.125（万元）
第5次还款后欠款合计：37.515-18.759=18.756（万元）
第6次付息：18.756×3%=0.563（万元）
第6次还本金额：18.756（万元）