3.2 地基计算模型

在地基、基础和上部结构的共同作用分析或地基上的梁、板的分析时，都要用到土与基础接触界面上的力与位移的关系，这种关系可以用连续的或离散化形式的特征函数表示，这就是地基计算模型。地基计算模型可以是线性的，也可以是非线性的，最简单的地基模型是线弹性模型，并且只考虑竖向力和位移的关系。下面仅介绍几种用于工程计算的常用线弹性地基模型。

3.2.1 文克勒地基模型

文克勒地基模型是由捷克工程师文克勒（Winkler）在1867年提出的，该模型是最简单的线弹性模型，其假设地基上任一点所受到的压力强度p与该点的竖向位移（沉降）s成正比（图3.8），即

式中 k——基床系数，kN/m3，其参考值见表3.1。

文克勒地基模型假设地基表面某点的沉降与其他点的压力无关。该模型实际上是把连续的地基土体划分成许多竖直的土柱，把每条土柱看作是一根独立的弹簧。如果在弹簧体系上施加荷载，则每根弹簧所受的压力与该根弹簧的变形成正比(图3.8)。这种模型的地基反力图形与基础底面的竖向位移形状是相似的。如果基础的刚度非常大，基础底面在受荷后保持为平面，则地基反力按直线规律变化。这与前面常规设计中所采用的基底压力简化计算方法是完全一致的。按照图示的弹簧体系，每根弹簧与相邻弹簧的压力和变形毫无关系，这样由弹簧所代表的土柱，在产生竖向变形的时候与相邻土柱之间没有摩擦阻力，也就是说地基中只有正应力而没有剪应力。因此，地基变形只限于基础底面范围之内。

事实上，土柱之间（即地基中）存在着剪应力。正是由于剪应力的存在，才使基底压力在地基中产生应力扩散，并使基底以外的地表发生沉降。

尽管文克勒地基模型存在一定的局限性，但由于该模型参数少、便于应用，所以仍是目前最常用的地基模型之一。一般认为力学性质与水相近的地基，采用文克勒模型就比较合适。在下述情况下，可以考虑采用文克勒地基模型。

(1)地基主要受力层为软土。由于软土的抗剪强度低，因而能够承受的剪应力值很小。

(2)厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层地基。这时地基中产生附加应力集中现象，剪应力很小。

(3)基底下塑性区相应较大时。

(4)支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系来代替群桩。

3.2.2 弹性半空间地基模型

弹性半空间地基模型将地基视为均质的线性变形半空间体，采用弹性力学中弹性半空间体理论公式求解地基中的附加应力或位移，此时地基上任意点的沉降与整个基底反力以及邻近荷载的分布有关。

根据布辛奈斯克(Boussinesq)解，在弹性半空间表面上作用一个竖向集中力p时，半空间表面上离竖向集中力作用点距离为r处的地基表面沉降s为

式中 E0——地基土的变形模量,MPa；

μ——地基土的泊松比；

r——地基表面任意点至集中力作用点的距离,m。

对于均布矩形荷载p0作用下矩形面积中心点的沉降，可以通过对式(3.2)进行积分求得，即

式中 l——矩形荷载面的长度,m；

b——矩形荷载面的宽度,m。

设地基表面作用着任意分布的荷载，把基底平面划分为n个矩形网格，如图3.9所示，作用于各网格面积（f1，f2，…，fn）上的基底压力（p1，p2，…，pn）可以近似地认为是均布的。如果以沉降系数δij表示网格i的中点作用于网格j上的均布压力pj=1/fj（此时面积fj上的总压力Rj=1，Rj=pjfj称为集中基底压力）引起的沉降，则按叠加原理，网格i中点的沉降应为所有n个网格上的基底压力分别引起的沉降总和，即

对于整个基础，式（3.4）可用矩阵形式表示为

简写为

式中 ［δ］——地基柔度矩阵。

为了简化计算，可以只对δij按作用于j网格上的均布荷载pj=1/fj以式(3.3)计算，即

弹性半空间地基模型具有能够扩散应力和变形的优点，可以反映邻近荷载的影响，但它的扩散能力往往超过地基的实际情况，所以计算所得的沉降量和地表的沉降范围常常比实测结果大，同时该模型没有考虑地基的成层性、非均质性以及土体应力-应变关系的非线性等重要因素的影响。

3.2.3 有限压缩层地基模型

有限压缩层地基模型是把计算沉降的分层总和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降等于沉降计算深度范围内各计算分层在侧限条件下的压缩量之和。这种模型能够较好地反映地基土扩散应力和应变的能力，可以反映邻近荷载的影响，考虑到土层沿深度和水平方向的变化，但仍无法考虑土的非线性和基底反力的塑性重分布。

有限压缩层地基模型的表达式与式(3.5)相同，式中的柔度矩阵［δ］需按分层总和法计算。将基底划分成n个矩形网格，并将其下面的地基分割成截面与网格相同的棱柱体，其下端到达硬层顶面或沉降计算深度。各棱柱体按照天然土层界面和计算精度要求分成若干计算层，于是沉降系数δij的计算公式可以写成

式中 hti、Esti——第i个棱柱体中第t分层的厚度和压缩模量；

nc——第i个棱柱体的分层数；

σtij——第i个棱柱体中第t分层由pj=1/fj引起的竖向附加应力的平均值，可用该层中点处的附加应力值来代替。