3.4 动态边界模型
阀门是输水线路中重要的调节和控制设备。在输水系统中，阀门的启闭和调节是瞬变流发生的主要原因之一，阀门的过流特性和操作方式是影响瞬变过程的重要因素。
图3.9所示为控制阀边界模型。在该模型中的阀门上游断面可以建立正向特征线相容方程为
图3.9 控制阀边界模型
在阀门的下游断面可以建立反向特征线方程为
以上两个方程包含了4个未知数，因此还需要增加2个约束方程来形成封闭方程系统。将阀门看成一个集中原件，阀门的连续性方程可表示为
根据阀门的过流特性，阀门的水头平衡方程可表示为
式中 Av——阀门的公称面积；
Cd——阀门的流量系数，该系数需要根据相应时刻阀门的开度和阀门的流量特性曲线确定；
V——阀门的平均流速；
Δh——阀门上下游水头差。
在一些通常的计算中认为阀门的流量系数与全开阀门情况下的流量系数成规则的线性关系。但实际上，很多阀门的流量系数并不能用函数关系式来描述，而只能通过一些实验点的数据连接成近似的曲线，在计算中需要采用插值获得不同开度下的阀门过流特性。图3.10所示为控制阀门的过流特性曲线。严格地讲，每个阀门的流量特性都需通过实验来确定，但对同类型的阀门，可以采用类似的实验进行换算和借鉴。譬如，两个类型相同的阀门，如果知道其中一个阀门的流量特性曲线，通过对另一个阀门全开时的过流特性与已知阀门进行同比例放大或缩小，可以近似获得阀门的流量特性。
图3.10 控制阀门的过流特性曲线
在瞬变流的模拟中，阀门的开度是由具体操作过程确定的，它和时间一一对应。根据系统调节的需要，阀门的开度可能成线性规律和曲线规律开启和关闭，也可以采用分段开启和关闭等多种操作形式，无论采用何种形式，在瞬变流的模拟中阀门的开度τ在任何时刻是已知的，其与时间的关系为
根据阀门的流量特性曲线和阀门的开度，任意时刻的阀门流量系数也是确定的。这样方程式（3.58）、式（3.59）、式（3.60）形成了封闭的方程系统，但该方程系统中包含了绝对值符号和二次方程，因此无法采用线性矩阵的形式直接求解。需要采用消元法进行求解，将阀门的流量特性公式代入方程式（3.61）得
定义qv=qj，t+Δt=qk，t+Δt，则
式（3-63）可简化为
可以通过以下步骤求得方程式（3.64）的合理解：
（1）根据上一时刻的流动状态假定水流的方向。
（2）根据水流方向选择相应的模型求解阀门流量。
（3）检验流量是否与假定的流动方向相同。如果相同，所得的解即为满足实际水流的解；如果不同，改变水流的方向并选择对应的模型重新计算，所得的解即为阀门流量的实际解。
控制阀水力模型求解步骤如图3.11所示。
当求得阀门流量以后，阀门边界的模型用矩阵可表示为
图3.11 控制阀水力模型求解步骤
式中 A——系数矩阵。
求解方程式（3.65）可得控制阀水锤模型的解为
式 （3.67）中，A-为A的逆矩阵。
以上为控制阀的边界求解模型。在输水系统中，控制水流和激发水流瞬变的控制设施还包括水泵、水轮机、闸门等多种设备。这些控制设备的边界条件将在具体的章节中进行分析和求解。