第三节　16 世纪最壮观的数学成就

在前面两节，我们介绍了人类求解一次方程与二次方程的缓慢与平静的历史。在花拉子密给出完整的一次、二次方程根的求法后，这一问题已获解决。另外，我们也提到了人们对更高次方程的探索。比如，我们介绍了中国古代数学家不仅给出三次方程，还给出了一般 次方程的数值求解方法。不过，这只是探索的一个方向。另一个更重要的方向是，像一次、二次方程找到一般解法并给出了其根式解一样，寻找三次或者更高次方程的根式解。这引出了一段富有戏剧性的故事。

一元三次方程的故事

故事的序曲是从 15 世纪意大利数学家帕乔利（约 1445—1517）开始的。1494 年，他完成了 600 多页的数学百科全书《算术、几何、比和比例集成》，书中沿用花拉子密的解法和几何证明，广泛讨论了一次和二次方程。但在三次、四次方程方面，他总结了前人与自己艰辛探索的结果，最后得出悲观的结论：“对于三次方程和四次方程，直到现在还不可能形成一般规则。”他认为在当时的数学中，求解三次、四次方程，犹如化圆为方一样困难。这声对以前失败的悲叹，却成为 16 世纪意大利数学家迎接挑战的号角。

故事的第一个出场人物名叫费罗（约 1465—1526），他是当时“欧洲最好的大学之一”博洛尼亚大学的数学教授。在帕乔利做出悲观结论后不久，大约在 1515 年，费罗取得了一项突破性结果。他成功得到了 （系数为正）这类缺项三次方程的求解公式。在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功。但出乎现在人们意料的是，他并没有马上发表自己的开创性成果，而是对自己的解法绝对保密。这在“不发表即发霉”的今天，真是不可思议之事！在当时却有其原因。那时的社会热衷于一种公开进行的数学智力对抗竞赛。根据 19 世纪一位数学史家的描述，数学家对这样的智力对抗感兴趣，因为其结果不仅决定他们在城市或大学里的声誉，而且会决定其任期长短和月薪多少。而一个重要的新发现就成了确保竞赛中处于不败之地的有力武器。于是，在这种社会风气下，人们常把所得的发现保密，向对手提出挑战，要对手解决同样的问题，从而可以在公开竞赛中获胜，以此保住自己的职位并提高自己的声望。费罗因此保守了这个秘密，直到临终前，才将这一发现秘传给其学生菲奥尔和纳夫（约 1500—1558），后者后来成为他的女婿，并在费罗死后保存了其研究手稿。

于是，获得费罗“杀手锏”的菲奥尔在我们的故事中作为第二个人物露面了。菲奥尔本人的数学才能并不突出，他将费罗的发现视为可利用之物，也没有立即发表，而是决定保存这件秘密武器并等待时机——一个能够让他成名的机会。天遂人愿，在他面前出现了一个可以挑战的对象。

在我们这个故事中出场的第三个人物叫塔塔里亚（约 1499—1557），是意大利数学家、力学家、军事科学家。塔塔里亚原名叫丰塔纳，1499 年出生在布雷西亚的一个贫困家庭。1512 年，法国占领了布雷西亚。法国士兵在那里大开杀戒，多数居民都到教堂寻求庇护。不幸的小丰塔纳被砍了几刀，头骨三处破裂，下巴和上腭也被劈开。尽管最后他活过来了，但上腭的伤使他留下了语言障碍，从此有了“塔塔里亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思，后来他以此绰号闻名于世。

塔塔里亚

塔塔里亚早年的不幸还不仅如此。因为家里贫穷，他无法接受正常的教育。他母亲好不容易攒了一点钱把他送到学校，但这点钱只够他在校 15 天。在学到字母表的 k 时，钱用光了，他偷了本书，后来就靠它自学读写。据说，因为没钱买纸，他只好拿公墓的墓碑来做写字板。然而，悲惨的遭遇与穷苦的生活没有湮灭这个孩子的才能，这位顽强的少年通过刻苦自学终于成才。后来，他作为教师辗转在意大利不同城市教授科学和数学。1530 年，他的一个同事给他出了两道难题。这两道题是：求一个数，其立方加上平方的 3 倍等于 5；求三个数，其中第二个数比第一个数大 2，第三个数又比第二个数大 2，它们的积是 1000。显然，这两道题相当于分别解三次方程 与 。

经过不懈努力后，塔塔里亚成功解决了 。这意味着，他已掌握了 （系数为正数）这类没有一次项的三次方程的求解方法。塔塔里亚会解三次方程的消息很快就传开，并传到了菲奥尔耳朵里。菲奥尔终于等到了自己一直等候的挑战者，不久他就向塔塔里亚提出了挑战。塔塔里亚起而应战。于是，我们故事中的两位人物碰面了。

两人约定于 1535 年 2 月 22 日在意大利米兰公开举行辩论，双方各出 30 个三次方程的问题，谁解出的题目多谁就获胜。菲奥尔所提交的 30 个问题全部属于 类型的方程。如其中一个问题是：一块蓝宝石卖了 500 金币，所得利润是其成本的立方根，求其利润是多少。列方程可得 。他希望凭借自己对这一种情形的知识而取胜。塔塔里亚提交的问题不但涉及 类型的三次方程，而且还需要其他数学知识。

赛期渐近，塔塔里亚有些紧张，他并没有找到不含二次项的三次方程的一般解法。在经过夜以继日的苦思冥想后，他终于在临赛前几天的 1535 年 2 月 12 日发现了解法。在正式辩论中，塔塔里亚只用了两个小时就轻松解出了对方的所有题目，而菲奥尔却没有解答出塔塔里亚提的任何问题。这样，塔塔里亚以 30︰0 的战绩大获全胜。按当时的规矩，输者需要宴请胜者及其朋友，不过，塔塔里亚高姿态谢绝了这种奖赏，仅接受了胜利者的称号。这次辉煌的胜利为塔塔里亚带来了轰动一时的声誉，同时也意味着菲奥尔在我们的故事中以不体面的方式先行退场了。

塔塔里亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法。到 1541 年，他又找到了 等类型三次方程的解法。或许是出于与费罗同样的考虑，又或许是想写一本关于三次方程解法的书，塔塔里亚没有将自己的成果很快发表。于是，风波骤起，本应进入尾声的故事，又因一个重要人物的出场而被引向完全不同的方向。

这位半路杀出来的“程咬金”叫卡尔丹（1501—1576），可算是数学史中最奇特的人物了。1501 年，卡尔丹出生在意大利西部的帕维亚，是一个法官的私生子。他有着丰富多彩但曲折坎坷的一生：他的本行是医生，于 1526 年获医学博士学位，但因私生子的身份不被认可，直到凭借高超的医术赢得很大声望后，才于 1539 年被米兰医学协会接纳，后成为闻名欧洲的名医；他是一位很投入的占星家，甚至画出了耶稣的星位图，这导致他在 1570 年被指控信奉异端邪说而入狱；他嗜赌成性，但也对这种游戏进行了细致的科学研究，并完成了第一本研究概率的书《论碰运气游戏》（1663 年）；与他患难与共的妻子 31 岁时早逝；他疼爱的长子在陷入一桩不幸的婚姻后毒死了妻子，被处绞刑；他的小儿子生活放荡，因偷钱付赌资，被他告发而关进监狱。最终，卡尔丹以离奇的方式告别了这个世界：迷信占星术的他预测自己将死于 1576 年 9 月 21 日，为了实现自己的预言，据说他在那一天自杀了。

卡尔丹

作为科学史上的奇人，卡尔丹被誉为百科全书式的学者，在各种知识领域里展现天赋。他一生写下各种类型的著作 200 余种，广泛涉及从科学到其他领域的众多主题。在他去世后一百年，伟大的莱布尼茨概括了他的一生：“卡尔丹是一个有许多缺点的伟人。没有这些缺点，他将举世无双。”

在塔塔里亚与菲尔奥竞赛后不久，卡尔丹听说了这一消息。在此之前，他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却毫无结果。可以想象，他是多么渴望知道塔塔里亚这位解三次方程大师的奇妙技巧。卡尔丹曾多次写信给塔塔里亚请求告知其解法。塔塔里亚最初都拒绝了。后来，卡尔丹向塔塔里亚承诺将把他及他关于火炮方面的发现引见到米兰宫廷，塔塔里亚有些心动了。1539 年 3 月他来到米兰与卡尔丹相见。在卡尔丹立誓绝不公开发表塔塔里亚的发现之后，3 月 25 日塔塔里亚把为记忆三种形式的三次方程求解法则而编的 25 行诗传给了卡尔丹。下面是解释 的一段诗文：

立方共诸物，和要写右边，

巧设两个数，差值同右和；

此法要牢记，再定两数积：

诸物三（分）之一，还把立方计；

既知差与积，两数算容易，

复求立方根，相减题答毕。

卡尔丹在其后不久完成的一部数学书中遵守了自己的承诺，没有发表塔塔里亚的成果。随后，卡尔丹开始更深入地钻研这个问题，经过几年的努力，他终于得到各种类型三次方程的解法及其几何证明。这期间，卡尔丹曾得到他的一个学生的帮助。这个学生的名字叫费拉里（1522—1565），是我们这段故事最后出场的人物。

费拉里 14 岁时成为卡尔丹的家仆。卡尔丹发现了他的出众才能，收他为学生和助手。费拉里 18 岁时接替卡尔丹在米兰讲学，他最大的贡献是发现了四次方程的一般解法。

费拉里一直参与卡尔丹有关三次方程求解的工作。经过合作研究，两人获得了众多进展。但是卡尔丹和费拉里发现的解法都建立在塔塔里亚的解法基础上。由于卡尔丹立下的誓言，塔塔里亚不公布其解法，他们的新发现就不能公布。后来，卡尔丹听说费罗的女婿纳夫手中持有费罗的原稿。于是，1544 年他与费拉里一起到博洛尼亚拜访纳夫，获准阅读费罗的手稿，发现费罗先于塔塔里亚得到了相同的三次方程解法。既然这种技巧已经出现在费罗的论文中，卡尔丹觉得已经没有必要再受自己誓言的约束。1545 年，卡尔丹出版了《大术》一书，将三次方程解法公之于众。书中，卡尔丹对不完全三次方程解法的来源做了明确说明：“费罗大约于 30 年前发现了这一法则并传授给菲奥尔，后者曾与宣称自己也发现该法则的布雷西亚的塔塔里亚辩论。塔塔里亚在我的恳求下将方法告诉了我，但没有证明。在这种帮助下，我克服了很大困难找到了证明，现陈述如下……”

虽然，卡尔丹特别提到了塔塔里亚的贡献，然而事实是，随着《大术》一书的出版，卡尔丹立刻赢得了极大赞誉，而塔塔里亚的贡献则完全被忽视了。塔塔里亚坚信本该自己享有的荣誉被卡尔丹抢去了，因此，卡尔丹的“失信”行为激起塔塔里亚的狂怒是完全可以理解的。1546 年，塔塔里亚在出版的一本书中责骂了卡尔丹的背信行为，于是一场争吵不可避免地发生了。虽然塔塔里亚要求与如日中天的卡尔丹直接交锋，但当时正处于丧妻之痛的卡尔丹保持了沉默。起而应战的是费拉里，这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知遇之恩（17 岁曾在一次争执中失去右手手指）。一时间，充满火药味的信件在塔塔里亚与费拉里之间飞来飞去。1548 年 8 月 10 日，在米兰的公开辩论使这场冲突达到了白热化。当天辩论时，米兰总督做评判人，米兰人蜂拥而至。辩论开始，塔塔里亚批驳费拉里解答中的错误，费拉里则指责对方不能解四次方程。双方的争论从上午十点持续到晚饭时间，结果却是不了了之。第二天，客场作战的塔塔里亚未等裁决结果就离开了米兰。费拉里宣称自己赢得了胜利。此后，塔塔里亚失去了薪金丰厚的讲学职位，抱恨而终。而费拉里却因此名声大震，并平步青云。然而乐极生悲的是，1565 年，年仅 43 岁、已成为大富翁的费拉里忽然去世，据说是他妹妹图谋他的财产，毒死了他。

这些就是围绕着三次方程求解所发生的故事，激烈、复杂、有趣却又不免有点荒唐。由于卡尔丹最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法被称为“卡尔丹公式”，塔塔里亚之名湮没无闻。这对塔塔里亚来说似乎欠公平。不过，在历史上，这类争夺优先权的论战又何止这一桩呢？随着时间的推移，当时对于个人如此重要的事，对后人而言却不过是“古今多少事，都付笑谈中”而已。

抛开个人恩怨得失，我们看到的是，在这出悲喜剧谢幕时，数学家们已经知道了怎样解三次和四次方程。

16 世纪最壮观的数学成就

我们先来考察一下上面提到的缺二次项的三次方程 （系数 、 为正数）的解法。对此类方程，费罗与塔塔里亚都得到了解法，但均未发表。卡尔丹在《大术》第十一章以 为例，给出了这类方程的解法。用现代符号，我们大致阐述一下其思路。

考虑恒等式 ，将这一恒等式与 对照，我们可以设 ，这只需 即可。这样，只要我们选取适当的 、 ，则 由 给出。于是问题转化为求满足 这一条件的 、 。

这一条件又可以变化为： 。

这意味着 、 是二次方程 的两个根。于是原来的三次方程求解问题转化成了当时人们已熟知的二次方程。套用二次方程的求根公式即可得到 。

最终得出，。

这一由符号表示的结果与卡尔丹的结论是相同的，只是他的文字叙述要复杂得多：“将一次项系数的 立方；加上常数项之半的平方；并取整个的平方根。现在对这个数分别加上及减去常数项之半，那么，第一个数的立方根与第二个数的立方根之差便是未知数的值。”套用这一公式， 解为： 。

为了符合当时的严格标准，即任何代数结果必须经过几何方法的证明才被确认为真，卡尔丹用几何方法给出了上述方程解法的复杂证明，这在当时被认为是极其重要的一步。与二次方程证明中使用的正方形填补法相类似，卡尔丹的证明本质上是一种“立方体填补法”。

由于当时的数学家一般不接受负数，于是，卡尔丹不得不在后面的两章继续研究 的类型。卡尔丹在书中第十四章至第十六章探讨了三种缺一次项的三次方程，在第十七章至第二十三章探讨了 7 种四项俱全的三次方程。也就是说，卡尔丹根据二次项、一次项和常数项的位置不同，把三次方程分为 13 种类型，并用 13 章的篇幅对每一种类型给出了不同的求解法则及证明。而现在允许系数为非负数，因此对三次方程只需要讨论一种统一的形式，即 ，其中 。

如何解决这类不缺项的三次方程？谜底揭开后倒是很简单的，需要的只是一个代换而已。事实上，令 ，即可消去二次项，将其转换为已解决的 类型的方程。

《大术》另一重要成果是给出了由费拉里发现的四次方程解法。它出现在《大术》第三十九章中：“还有另外一个法则，并且，比前一个法则更为壮观。这就是费拉里提出的法则，他应我的要求，将其发现交给我，根据费拉里法则，我们可以求出所有四次方程的解。”我们用现在的符号大致说明一下费拉里的思路。

先看一下如何解缺三次项的四次方程 。

对前两项配方得， 。

费拉里的基本思路是通过引入参数把等式的两边都配成完全平方形式。

为此引入参数 ，方程两边同加上 ，可得到

即

左边已经是完全平方式，右边为了成为完全平方式，只需右边多项式的判别式为 0，即 。整理此式，可以看到这是一个关于 的三次方程。根据卡尔丹公式，一定可以解出 。然后把 代入（*）式，（*）式两边都是完全平方式。因此通过两边开方，得到关于 的两个二次方程，于是可求得 。

那么一般的四次方程 又如何求解呢？可作代换 ，于是原方程将转化为已获解决的缺三次项的四次方程 。

这就是费拉里给出的四次方程的大概解法。其方法有普遍意义，并成为现代代数方程理论中的标准解法。但正如我们已经提到的，因为当时受限于系数为正，所以《大术》一书不得不考虑复杂得多的情形。事实上，卡尔丹在书中列举了 20 种不同类型的四次方程，除这些“事实上是最一般”的以外，卡尔丹指出“还有 67 种其他类型的四次方程”！即便对列出的 20 种类型的四次方程，卡尔丹也没有再像处理三次方程那样展开，而只是概述了基本过程，并选出部分典型题目举例说明。在书的结尾他写道：“用五年时间写就的这本书，也许可以持续几千年。”

卡尔丹的自夸是有道理的。他的《大术》一书使解方程的艺术达到了新高度，当初认为三次方程不能解的观点被彻底粉碎。书中关于三次方程和四次方程的解决被数学史家伊夫斯称作“16 世纪最壮观的数学成就”。此外，作为代数发展史上里程碑的《大术》还推动了方程理论的探讨。卡尔丹在书中详细讨论了方程的负数根，成为欧洲第一个允许二次方程和三次方程负根存在的人。他指出一个三次方程能有三个根，一个四次方程能有四个根，这些工作被认为是代数方程理论的早期成果。

从整个数学的发展来看，这本 16 世纪最重要的数学著作更具有承前启后的重要意义。在承前方面，三次、四次方程求解上承二次方程千余年的求解成果。《大术》在许多方面保持着花拉子密的风格：系数只能为具体的数；要求方程的系数为正数，所以不得不对方程分类处理；没有使用代数符号，对方程、方程的解法与规则的说明都用冗长的语言叙述；使用几何证明等。这并非卡尔丹的局限，而是那个时代的局限。在启后方面，他首先注意到三次方程求解的不可约情形，并由此提出虚数问题，这对方程理论研究有重要意义。更重要的是，《大术》对三次、四次方程的解决成为 17 世纪和 18 世纪数学家对更高次方程展开一系列漫长而影响深远的探讨的起跑点。