3.2 摄动运动方程的几种常用形式_卫星轨道力学算法-QQ阅读男频武侠网

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3.2　摄动运动方程的几种常用形式

3.2.1　摄动加速度（S，T，W）和（U，N，W）型表达的摄动运动方程

在有些情况下，摄动力并非保守力，即便是保守力，亦可采用摄动加速度分量的形式来建立相应的摄动运动方程。通常是将（3.1）式中的摄动加速度分解成径向、横向和轨道面法向三分量，依次记为S，T，W；或分解成切向、主法向和次法向（即轨道面法向）三分量，分别记为U，N，W。（S，T）与（U，N）之间的转换关系如下：

因此，容易由（S，T，W）型方程转换成（U，N，W）型方程。

直接由摄动加速度构造的形式统称为高斯（Gauss）型摄动运动方程，下面列出相应的具体表达形式。

（1）（S，T，W）型摄动运动方程

其中u＝f＋ω，p＝a（1-e2），f和E分别为真近点角和偏近点角。

（2）（U，N，W）型摄动运动方程

其中和与（3.14）式中的表达相同。

关于S，T，W三分量如何给出，这要根据具体摄动源的状况而定。如果不易直接给出，那么当摄动力是保守力，并已知摄动函数R的形式，则可由下列关系式给出S，T，W：

若的直角坐标分量容易给出，则可由下列转换关系导出S，T，W：

转换矩阵（ZH）由三次旋转构成：（ZH）＝Rz（u）Rx（i）Rz（Ω），其具体形式为

于是，由到（S，T，W）的转换公式即可写成

其中分别为径向、横向和轨道面法向单位矢量，有

这里的和与第2章中的和方向不同（见（2.39）和（2.40）式），其表达式为

3.2.2　摄动函数表达的型摄动运动方程

如果摄动力是保守力，则相应的摄动加速度可由下式表达：

这里的R即摄动函数，一般有，其形式由具体的摄动源所确定。

关于型的摄动运动方程，容易由S，T，W型摄动运动方程转换而得。略去这一转换过程，直接列出其具体形式如下：

对存在R的情况，原是直接利用常数变易原理导出，称为拉格朗日（Lagrange）型摄动运动方程。由于直接推导很麻烦，从实用角度来看，无需再去了解这一具体推导过程。

摄动运动方程（3.25）式有一明显特点：在前三个方程的右端项中，只涉及（Ω，ω，M），而在后三个方程的右端项中却只涉及（a，e，i），具有一种“对称性”，这也是三个角变量Ω，ω，M与三个角动量a，e，i之间的差别，特别是角变量中的快变量M，其变化的快慢主要由运动天体的平运动角速度所确定。

3.2.3　摄动运动方程的正则形式

对于Hamilton系统，采用分析力学方法建立相应的摄动运动方程是很容易的，当采用正则共轭变量，如德洛纳（Delaunay）变量L，G，H，l，g，h时，相应的摄动运动方程的形式极其简单，有一种共轭对称性，即

其中F为Hamilton函数，与常用的Hamilton函数K（区别于变量H）相差一负号，即

因此，方程（3.26）亦与常用形式相差一负号。这里的L，G，H为矩（角动量），相当于广义动量p，而l，g，h为角变量，相当于广义坐标q。它们与椭圆轨道根数之间的关系如下：

由此不难看出，容易由方程（3.26）利用关系（3.28）导出前面的以轨道根数作为基本变量的拉格朗日型摄动运动方程（3.25）。从这一联系来看，尽管Hamilton力学主要用于相关的理论研究领域，但为了解决实际应用问题，了解上述基本原理以及与常用变量之间的关系还是有必要的。

3.2.4　摄动运动方程的奇点与处理方法

从摄动运动方程（3.14），（3.15）或（3.25）式可以看出，和的右端含有因子，而和的右端含有，因此，e＝0和sini＝0（即i＝0或180°）是摄动运动方程的奇点。它将在下面一章的摄动解中反映出来，当e≈0，i≈0或180°时，解就将失效，但是，相应的运动仍然是正常的，例如近圆轨道显然是存在的。这一小e、小i问题的产生，是由于相应基本变量的选择不当引起的。因为当e＝0时，ω不确定，与之有关的M也随之不确定；而当i＝0或180°时，Ω不确定，与之有关的ω亦随之不确定。这种选择不当，在上述方程中必然要反映出来，只要改变相应变量的选择，即可消除上述奇点。