1.2 几何光学的基本定律

几何光学的基本定律是研究光的传播现象和规律，以及光线经过光学系统成像特性的基础。

1.2.1 基本定律概述

1．光的直线传播定律

在各向同性的均匀介质中，光是沿直线传播的，这就是光的直线传播定律。影子的形成、日食、月食等现象都很好地印证了该定律，小孔成像正是利用了光的直线传播定律。但应注意，光的直线传播定律是在不考虑光的波动性质的情况下才成立的，当光经过尺寸与波长接近或更小的小孔或狭缝时，将会发生衍射现象，光将不再沿直线传播。另外，当光在非均匀介质中传播时，光线传播的路径为曲线，而不是直线，如海市蜃楼现象。

2．光的独立传播定律

从不同发光体发出的多束光线在空间相遇时，彼此互不影响，各光线独立传播，称为光的独立传播定律。按照这一定律，光束相交处光强是简单的叠加。光的独立传播定律仅对不同发光体发出的光是非相干光才是准确的，如果两束光由同一光源发出，经不同的路径传播后在空间某点交会时，交会点的光强将不再是简单的叠加，而是根据两光束所走过的光程不同，可能加强，也可能减弱，即可能成为相干光而发生干涉现象。

3．光的反射和折射定律

光的直线传播定律和光的独立传播定律是光在同一均匀介质中的传播规律，而光的反射定律和折射定律则是研究光传播到两种均匀介质分界面上时的现象与规律。

如图1.3所示，当一束光AO投射到两种透明介质的分界面上时，将有一部分光被反射，另一部分光被折射，两者分别遵守反射定律和折射定律。图中分界面PQ处，I、I′、I″分别为入射角、折射角和反射角，它们均以锐角度量，其符号规定为：由光线转向法线，顺时针为正，逆时针为负。

1）反射定律

反射定律可归结为：

（1）反射光线位于入射光线和法线所决定的平面。

（2）反射光线和入射光线位于法线两侧，且绝对值相等，符号相反，即

式中，负号表示二者的传播方向相反。

2）折射定律

折射定律可归结为：

（1）折射光线位于入射光线和法线所决定的平面内。

（2）折射角的正弦与入射角的正弦之比与入射角的大小无关，仅取决于两种介质的性质。用公式表示为

式中，n、n′为介质的绝对折射率，n＝c/v, n′＝c/v′，真空中n＝1。若令n′＝－n，则可由折射定律转化为反射定律，因此反射定律可以看做折射定律的一个特例。

3）光的全反射

按照光的反射和折射定律，当光线入射到两种介质的分界面时，一般都会发生反射和折射。但当光线从光密介质射向光疏介质，即n＞n′时，折射角将大于入射角。当入射角逐渐增大，到达某一角度Im时，光线的折射角达到90°，光线沿界面掠射而出，继续增大入射角，则折射光线消失，所有光线全都发生反射，回到原光密介质，这种现象称为全反射。Im称为全反射的临界角，如图1.4所示。

由此可见，光线发生全反射的条件为：①光线从光密介质射向光疏介质；②入射角大于临界角。

全反射具有很重要的应用，如全反射棱镜、光导纤维、分划板照明、360°平面光束仪等。图1.5和图1.6分别为全反射在直角棱镜和光导纤维中的应用。

1.2.2 光路的可逆性

如图1.3所示，如果光线沿BO入射，则按照光的直线传播定律和反射定律，光线将沿OA出射；同样，如果光线沿CO入射，则按照光的直线传播定律和折射定律，光线也沿OA出射。由此可见，光线的传播是可逆的，且无论是在均匀介质中光线直线传播，还是在两种均匀介质界面上发生反射和折射时，光路的可逆性现象都同样存在。

光路可逆现象具有重要意义，根据这一特性，不但可以确定物体经光学系统后所成像的位置，而且也可以反过来由像来确定物体的位置，在光学系统的设计计算中，经常利用光路的可逆性，给解决实际问题带来极大方便。

1.2.3 费马原理

费马原理指出，光从一点传播到另一点，期间无论经过多少次反射或折射，其光程为极值（极大、极小或常量）。或者说，光是沿着光程为极值的路径传播的。

光程s是指光在介质中传播的几何路程l与该介质折射率n的乘积，即

利用n＝c/v和l＝vt，有

可见，光在某种介质中的光程等于同一时间光在真空中所走过的几何路程。

光在均匀介质中是沿直线传播的，但在非均匀介质中，因折射率n是空间位置的函数，故光线将不再沿直线传播，其轨迹是一空间曲线，如图1.7所示，光从A点传播到B点，其光程由曲线积分来确定，即

根据费马原理，此光程为极值，所以式（1-5）可表示为

图1.8所示为非均匀介质中光程为稳定值和极大值的情况。

由费马原理可以证明几何光学的基本定律，如光的直线传播定律：在均匀介质中，折射率为常数，所以要求光程为极值即要求几何路程为极值，因两点之间直线最短，对应的光程为极小值，所以均匀介质中光线沿直线传播。

例1.1 用费马原理证明光的反射定律。

证明 如图1.9（a）所示，设点A、B均位于xOz面上，A（x1, o, z1）为点光源，B（x2, o, z2）为接收器，点P（x, y, o）为光线在界面xOy面上的入射点，则光线APB的光程为

由费马原理，光程极值条件为

由，得y＝0, P点位于Ox轴上，即入射光线、法线及反射光线在垂直反射面的平面内，满足反射光线、入射光线和法线共面。

由及图1.9（b）按符号规定标注标示的入射角I、反射角I″，可知

所以，得sinI＝－sinI′，即I＝－I′。

即满足反射光线和入射光线位于法线两侧，且绝对值相等，符号相反。

同样，利用费马原理可以证明光线的折射定律。

费马原理的意义在于它从光程的概念出发概括了光传播的规律，是几何光学的理论基础。利用费马原理不仅可以直接推导几何光学的基本定律，而且能用来研究近轴光学系统的成像规律、光学系统的像差等。光学系统的成像光线等光程是完善成像的物理条件。

1.2.4 马吕斯定律

马吕斯定律是指在各向同性的均匀介质中，与某一曲面垂直的一束光线，经过任意次折射、反射后，必定与另一曲面垂直，而且位于这两个曲面之间的所有光线的光程相等。马吕斯定律是表述光线传播规律的另一种形式，该定律描述了光束与波面，光线与光程的关系。

马吕斯定律强调，光线束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保持着与波面的正交性，并且入射波面和出射波面对应点之间的光程均为定值。

几何光学的基本定律、费马原理和马吕斯定律，都能说明光线传播的基本规律，都可以作为几何光学的基础，只要三者中任意一个已知，都可导出其余的两个。