2.4 投入产出模型的三级分解协调预测算法

2.4.1 问题的提出

根据上节，投入产出模型的优化问题可以表述为

2.4.2 问题的求解

定义对偶函数φ（λ）

于是，

由于

及同理得出的

我们可以得到，

其中，

在第三级给定λi（k）=λ*i（k）的情况下，第二级求Li的最优。而第三级本身则是用关联变量的误差作梯度，用梯度法或共轭梯度法寻优，有

若把N年以后的产量X（k）（N+1≤k≤N+T）当作X（N）的线性函数，如X（k）=（1+b）k-NX（N），其中b代表增长率，即假设规划目标年以后若干年的产值都按照固定的百分比增加，则第二级只要给出在λ*i（k）下使第i个子系统（i=1, …, C）已达到最优时的Xi（k）, Zi（k）, k=0,1, …, N，即可反馈回第三级。

对第二级，把子系统的拉格朗日函数按时间下标分解成子子拉格朗日函数，这样就把一个泛函优化的问题变为参数优化问题，很容易在第一级求得显式解（梁循，2006）。具体做法是：

定义对偶函数

其中，

设λi（σ）=0, μi（σ）=0, Hτi（σ）, Wτ, ij（σ）=0。当σ＞N或σ＜0，我们有

其中，

于是，每个子问题Li又可分解成N+1个独立的子子问题，

其中，

在第二级给定μi（k）=μ*j（k）, k=0,1, …, N的情况下，对第i个子系统，第一级求Li（k）, Li（N）最优，而在第二级用梯度法或共轭梯度法寻优，有

在第二级第i个子系统的子子系统中求出Xi（k）, Yi（k）, Zi（k）（k=0,1, …, N）后，即可反馈回第二级。

由Li（k）, Li（N），并注意X（k）=（1+b）k-NX（N）,（N+1≤k≤N+T）可得，

可得Zi（k）, Ui（k）, Xi（k）, k=0,1, …, N。于是，

其中，

在第三、二级中，新的协调变量由下式确定：

其中，l=0,1, …为迭代次数，αli（k）, α′li（k）为寻优步长。

若用梯度法，则

若用共轭梯度法，则

上述三级结构如图2-3所示（梁循，1990）。

算法在第一级就获得一个显式解，而第二、三级算法很简单，因而使整个计算变得十分简单。同时所需要的存储空间进一步大幅度缩小。本算法的另一优点就是用简单的办法处理不等式约束。

如果还有其他对i, k的加性可分等式约束，可以用同样方法处理。