13.5 本征值与本征矢量

与线性变换相关的最重要的概念当属“本征值”和“本征矢量”。这些也是量子力学里的关键概念，我们以后会在§21.5和§§22.1，5等节里体会到这一点。当然这两个概念也在其他数学分支和应用领域扮演着重要角色。线性变换T的本征矢量是一个非零复矢量υ，T作用到υ上使υ变化数倍，即是说，存在复数λ，它叫做相应的本征值，使得

Tυ=λ υ，即Tabvb=λ va．

我们也可将这个方程写成（T－λ I）υ=0，这样，如果λ是T的本征值，则量T－λ I必为奇异的。反之，若T－λ I为奇异的，则λ必为T的本征值。注意，若υ是本征矢量，则υ的非零复数倍也是本征矢量。这些乘积矢量的一维复空间在变换T下是不变的，这是υ作为本征矢量的一种性质（图13.10）。

由上述可知，λ成为T的本征值的条件是

det（T－λ I）=0．

将此式展开，我们得到一个关于λ的最高次幂为n的多项式方程**〔13.26〕。由§4.2的“代数基本定理”，我们可将关于λ的多项式det（T－λ I）分解成一系列线性因子的积。它将上述方程简化为

（λ1－λ）（λ2－λ）（λ3－λ）…（λn－λ）=0

这里，复数λ1，λ2，…，λn是T的不同的本征值。在某些特定情形下，这些因子里的某些项可以相同，这时我们有多重本征值。本征值λr的重合次数m即为因子λr－λ在上述乘积式中出现的次数。对于n×n矩阵，T的本征值的总数等于n。*〔13.27〕

对于重复次数r的本征值λ，相应的本征矢量空间组成维数为d的线性空间，这里1≤d≤r。对于某些型矩阵，包括酉阵、埃尔米特阵和量子力学里最感兴趣的正规矩阵（分别见§13.9，§§22.4，6），我们总有最大维数d=r（尽管对于给定的r，d=1情形是最“普遍”的）。这真够幸运，要知道d＜r情形可难处理多了。在量子力学里，本征值的重复数就是退化指数（参见§§22.6，7）。

n维矢量空间V的基是n个线性独立矢量e1，e2，…，en的有序集e=（e1，e2，…，en）。这意味着对于不全为零的α1，α2，…，αn，不存在形如α1e1+α2e2+…+αnen=0的关系。V的每个元素因此都是唯一的这些基元的线性组合。***〔13.28〕事实上，这一性质正是在V作为无穷维空间这种更广泛意义上基之所以为基的根本所在，因为此时线性独立本身已不充分。

因此，如果给定一组基e=（e1，e2，…，en），则V的任一元素x可唯一地写成（这里指标j不是抽象指标）

x=x1e1+x2e2+…+xnen=xjej

这里（x1，x2，…，xn）是x关于e的各分量的有序集（试与§12.3比较）。非奇异线性变换T可将一组基变换成另一组基。进一步地，如果e和f分别是两组给定基，则总存在唯一的T，使每个ea变换成相应的fj：

Tej=fj。

分量总是相对于基e而言的，因此各基元素e1，e2，…，en本身的分量分别为（1，0，0，…，0），（0，1，0，…，0），…，（0，0，…，0，1）。换言之，ej的分量是（），*〔13.29〕当所有分量均取关于基e的分量时，T可表示为矩阵（Tij），这里fj在基e下的分量为**〔13.30〕

（T1j，T2j，T3j，…，Tnj）。

这里有必要重申，线性变换与矩阵在概念上是有区别的，后者指的是取决于某个基的表达式，而前者则是不依赖于某个基的抽象关系。

现在，假定T的每个相重的本征值（如果存在的话）满足d=r，即它的本征空间维数等于重根数，于是我们可找到V的一组基（e1，e2，…en），其中每个元素都是T的本征矢量。***〔13.31〕令相应的本征值为λ1，λ2，…，λn：

Te1=λ1e1，Te2=λ2e2，…，Ten=λnen。

如果像前面所做的那样，T将基e变换到基f，则基f的元素正如上所示，有f1=λ1e1，f2=λ2e2，…fn=λnen。于是在基e下，T取对角阵形式

即=λ1，=λ2，…，=λn，其余分量为零。线性变换的这种正则形式在概念上和计算上都极为重要。[12]