第三章 物性几何论

几何实际上是感性思维图像印象经过统观抽象所形成的图形观念，并进一步形成理性思维的几何图形概念与判断，甚至推理解释所看到、所听到的现象。算术代数起源于离散计数，在矛盾统一中从自然数加减、乘除、指数对数、乘方开方、实数虚数等不断发展，直到在处理几何方形对角线与边的关系不能用正整数之比表示，而出现数学上第一次危机。在矛盾统一中产生无理数与复数，并推动几何证明逻辑的发展。物体形状与运动轨迹空间长度、角度、面积、体积、曲直等逐渐形成几何图形计算。图形面积、体积与边长度，甚至角度乘积等密切相关。物质分布范围与运动轨迹形状及其量度中首先遇到圆与直线及其最简单三角图形的矛盾统一问题。

平面圆与三角图形间的关系可用形式逻辑证明，即从几条公理证明推出平面几何边角图形关系。欧氏几何虽只能表达简单的且可用简单工具作图的几何，稍许复杂或不规则多边形的图形通常可切割成众多三角形来处理。而圆是自然运动与成型的基础，从而几何应从圆角及圆周半径、坐标间的关系讨论入手为妥。圆周相对圆心运动总是存在正反运动状态矛盾。先通过圆周与圆心关系考察，如果圆心静止并作为坐标原点，圆半径与穿过圆心坐标垂线定义几个基本角线关系，如正弦、余弦等，然后半径延伸至圆周交点间直线为直径，与圆周上任一点构成直角三角形，以及圆周上任意三点连线可以构成最简单三角形的边角关系。

几何简单图形而忽略质的差异（即不管是铁质、木质、土质等差异），着重考察圆与三角的关系。不仅方形对角线或直角三角形斜边与其他边之比不能用整数的分数获得，而且圆的圆周与半径的比值是2π，也不是正整数之比。为了描述与分析方便起见，平面穿过圆心一线或一维两个象限，穿过圆心垂直二线或二维4个象限，坐标以穿过球心的三个垂直平面切开，可构成三维8个象限。象限数为20=1、21=2、22=4、23=8、24=16等二进制数。实物有各种各样的形状，但基本图形是三角形与圆形，其他形状建立在三角形与圆形的基础上。三角几何就是以静态圆与三角形讨论为主，进而解析几何在静止坐标系上点运动轨迹变化的典型图形。

物性数学更关心的是参考坐标之间相对运动对实物，甚至对场质运动状态的量度及图形影响。物质的不生不灭性决定了量度系统质量及其总能量不会因相对运动参考坐标系间的量度而改变。这类涉及相对运动时空及其变换，称为动态几何。动态几何注重参考坐标系间相对运动的恒与变的矛盾统一，以及左旋与右旋，向心与背心，圆心与圆周运动状态矛盾统一的关系。质量、质密度、能量、能密度等参量在动态几何与三角几何之边长、角度参量地位类似，属于基本描述参量。物性几何，尤其是动态几何，从相对运动系统的量度矛盾统一中考察几何数学的性质与本质。

第一节 三角几何

物质运动轨迹描述具有大小与方向，即空间长度与角度成为几何的基础。运动轨迹一点方向可一分为二或分解为两个以上运动，并可用矢量表达。两个运动矢量重叠可合二而一或合成相对运动或另一矢量，即矢量也有加减乘除问题。但它不是代数那样单纯的数量计算，必须把空间或平面上的方向角度考虑进去，从而具有几何性质。方向运动合二而一或合成的数量可以使用几何边角关系运算。同或反方向纯直线合成仍然为直线运动。连续改变方向而数值不变的运动轨迹为圆周运动。方向与数值都变则构成其他曲线运动。圆心静止且作为坐标原点时，可一分为二用圆周与直线运动图形或圆周与径向运动关系来描述。

物质运动的空间轨迹不管是直线还是曲线，其每一点都是带有方向的，即矢量的。而矢量建立在静态三角形与圆形关系的基础上，经典三角实际上是纯粹三角形边角关系，矢量关系可用三角几何关系计算。三角几何与解析几何是在忽略坐标参考系相对运动条件下的形状与运动轨迹形态。从自然成型的涡旋运动来说，包含有圆周与圆心或圆与径向矛盾运动等都离不开圆与直线（或三角）几何图形。现就从圆径开始讨论。

1．任何平面圆周（不论大小）与相应半径之比矛盾统一且等于常数。平面圆一分为二为圆周L与半径r或直径d，合二而一且等于量度比值。对所有圆周都满足

L;（÷）d≧π

≒L/d=L/2r=π

圆周L=2πr。平面圆心θ到圆周半径绕一周的角度定为360°，同时与弧度2π等价。圆半径绕半周即直径间角度180°或弧度π。穿过圆心互相垂直半径划分四个象限，每个象限半径间的角度为90°或弧度π/2，即

360°≒2π

可见角值规定与圆密切相关，是圆径矛盾统一基本关系的反映。如图1.3.1所示，如果半径一分为二在垂直平面坐标上投影的两个分量，构成直角三角形，把圆与三角形联系起来。

圆周半径一分为二垂线x、y，角正弦及其反面余弦定义为

sinθ≡y/r

cosθ≡x/r

正切及其反面余切定义为

tanθ≡y/x

cotθ≡x/y

正割及其反面余割定义为

secθ=r/y

cscθ=r/x

上式将角值化成长度值的关系。终点在半径方向上移动，即圆周长、圆面积、球体积不同，而其正弦、余弦、正切、余切等比值相同或不变。

图形中圆与半径，即平面圆与三角形，角弧与边弦为最基本的图形矛盾，其矛盾统一逻辑可等价地用角、边线段等式表示。三角形可作圆内接或圆外切三角形而与圆联系起来。直角三角形边角关系可直接用三角正弦、余弦、正切、余切等表达，并以此进行边角间矛盾统一变换。三角形主要是边角矛盾统一，通常用正弦、余弦等可将角矛盾化成边线段量的矛盾，以便边角矛盾统一。这里几何角用大写字母表示，边线段用小写字母表示。分号与字符后面的括号用于说明矛盾性质或属性。

2．轨迹点矢量用带箭头的线段表示，箭头方向就是点的运动方向或矢量方向，长短表示点运动的位移、速度参量等大小或矢量大小。它可按需要一分为二，分解成两个以上的分量。如图1.3.2所示，平行四边形带箭头的对角线C矢量，可分为平行四边形带箭头的两个相邻棱边A、B或三角形带箭头的三个边A、B、C外加下划线表示，以表示标量或纯数量关系：

其数值关系按三角形边角关系计算。

系1：若有矢量A、B、C，矢量C是由相互垂直的矢量A、B合二而一或合成的，则：

如果、间非直角，而是夹角，也是按平行四边形两棱边、对角线，其数值计算则为：

≒A2sin2θ+（B+Acosθ）2

=A2+B2+2ABcosθ=C2

与三角相邻两边为带箭头的两线段。箭头头尾顺序相接成三角形，其另一边则是矢量和，箭头从头指向尾。

系2：矢量一分为二的平面坐标X、Y上的分量 ，再合二而一为，如图1.3.3所示。上述式可表达为：

3．矢量之差（减）。

矢量相减可看成负或反向矢量相加：、对应三角形两边相对箭头，另一边为其相减矢量，箭头从尾指向尾。

若矢量一分为二对应于平面坐标X、Y上的分量 ,，其差合二而一为。上式可表达为：

4．矢量点乘为标积。

矢量与矢量可能有夹角θ，矢量可一分为二为与矢量平行的Bcosθ及与垂直的Bsinθ两个分量。平行两矢量点乘沿方向运动。点乘表示如下：

矢量与的点乘是其两线段值与夹角余弦的乘积，即C=ABcosθ。C为标量或实数，两矢量夹角等于零时为最大值，两矢量垂直时等于零，以便建立矢量与标量或带方向几何量与不带方向代数实数的关系。

系：点乘的其他关系为

5．矢量叉乘为矢积。

两个矢量可能有夹角θ，矢量可一分为二为与另一矢量平行的Bcosθ及垂直的Bsinθ两个分量。与垂直的矢量叉乘（对应垂直的圆运动），如果点乘表示直线或径向运动，而叉乘表示圆运动，圆运动垂直于径向，旋转方向按右手四指为圆旋转方向以大姆指为圆运动指向。其大小决定两矢量夹角：

A×B=C

矢量与的叉乘是矢量，其数值为两线段值与夹角正弦的乘积，即C=ABsinθ, 的方向垂直于、反时针旋转。两矢量夹角等于零时C最小并等零。两矢量垂直则C为最大值。

系：叉乘的其他关系为

6．混合积。

7．三角形是图形中最简单的形状，因而圆与三角的关系是几何基本的关系。如图1.3.4所示，半径r与平面坐标圆周交点B的垂线在x轴上的交点为X，构成直角三角形△OBX。此半径r延长至圆周，交点为C点，构成直径d,B点垂线延长至圆周交点为A，所构成的△CBA与△OBX是相似直角三角形，各角所对边用小写字符表示：

△OBX≈（相似）△CBA

B角为两个三角形共同的角，其两边d/r=c/y=b/x，所以△CBA与△OBX的对应边成同一比例，两三角形的正弦、余弦等相等。正弦为

sinO=y/r=c/d=sinC

其反面余弦为

cosO=x/r=b/d=cosC

正切为

tanO=sinO/cosO=y/x=c/b=tanC

其反面余切为

cotO=cosO/sinO=x/y=b/c=cotC

8．角的加减变换：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

系1：倍角关系

sin2A=2sinAcosA

cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A

系2：半角关系

sin（A/2）=± (1-cosA)/2

cos（A/2）=± (1+cosA)/2

系3：降幂关系

sin2A=（1-cos2A）/2

cos2A=（1+cos2A）/2

系4：等价的三角边和差关系变换为角的关系

sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2）

sinA-sinB=2sin（（A-B）/2)cos（（A+B）/2）

cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）cos（（A-B）/2）

cosA-cosB=-2sin（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）

9．圆周任意三点连（弦）线的三角形a、b、c为圆内接三角形。△ABC各边a、b、c垂直平分线交点为圆心O。三个角之和等于π。

△ABC的三个角之和为：

∠A+∠B+∠C=∠OAC+∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB=（π/2-∠bOA）+（π/2-∠cOA）+（π/2-∠cOB）+（π/2-∠aOB）+（π/2-∠aOC）+（π/2-∠bOC）=3π-2π=π

10．如图1.3.5所示，在圆内接三角形中，直径为斜边d=2r，对应的△A′BC为直角三角形。若B角为直角，则其所对的边是直径，即d=2r。圆内接任意三角形各边a、b、c，其一边即圆之一弦a对应两三角形△ABC与△A′BC中的∠A=∠A′。可通过角关系证明。实际上所有圆内接三角形对同一弦的角，如对应角∠A（∠A′、∠A"、…）相等。

11．圆内接任意三角形的三个顶角A、B、C，所对应的三边a、b、c，其正弦关系为：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=d

如a弦对应的∠A与∠A′相等，从而sin∠A=sin∠A′=a/d，同理，sin∠B=b/d, sin∠C=c/d。

12．圆内接三角形的余弦关系为：

a 2=b2+c2-2bccosA

b 2=a2+c2-2accosB

c2=a 2+b 2-2abcosC

其中若有一角如A为直角时，则a2=b2+c2。

13．圆内接三角形的∠A角所对弦a与其圆周交点切线夹角等于∠A，而圆周与弦a交点的半径间夹角等于2∠A。可以化成切线垂直直径对a所对应直角三角形∠A′=∠A来证明。例如，若以上图B点作切线e,e与a的夹角为：

∠eBa=π/2-∠OBC=π/2-∠OCB=∠A′=∠A

14．如图1.3.6所示，圆周三点切线（即与半径垂直的直线）延长线的交点构成外切三角形（三点中有两点是在直径圆周两交点除外），其顶角A、B、C角平分线相交于圆心。以圆心到顶角A连线所分的两三角形的公共边与垂直线半径形成的两直角三角形相等，两个邻角相等，即这条线为角的平分线。同理B、C的角平分线也是如此。

外切三角形三个角平分线交到圆心。否则三角形的三个角之和不是π。如圆外切三角形的角A所对应切点半径夹角为：

∠A=2（π-π/2-∠cOA）=π-2∠cOA

∠B=π-2∠cOB

∠C=π-2∠bOC

∠A+∠B+∠C=3π-2（∠cOA+∠cOB+∠bOC）=3π-2π=π

15．长方形的面积为边长线段a、b的乘积，即S=ab。而三角形的面积是底a乘高h的一半（相当于同底等高的方形面积的一半），即S=ah/2。圆面积S=πr2（相当于弧为底，半径为高的微三角形的积分）。球面积为S=4πr2。

立方体的体积为立方体边长线段a、b、c的乘积，即V=abc。同理，三角形的面积ah/2,a为底，h为高，三角形柱的体积V=abh/2。底为圆的面积为πr2，高为h，圆柱体的体积V=πr2h。球体积为V=4πr3/3。

第二节 解析几何

直线是方向不变而数值可变的连续运动轨迹的极端形式。而圆是数值不变而方向连续变化的运动轨迹的另一极端形式，介于两者之间的是一般曲线，典型的如椭圆、双曲线、抛物线、螺旋线等。如果圆心不动的圆周运动轨迹，改变为圆心移动的，这时运动轨迹会变得很复杂。如果圆心速度垂直圆周平面，则构成沿速度方向的螺旋线运动状态，高速时为等价磁力线状态。当圆心速度在圆平面上，那么成型圆周相对圆心速度始终存在正反向状态，迫使圆心沿圆、椭圆、圈态、弦等曲线运动。圆心达到光速时，成型半径接近零并沿直线运动。

为了简单起见，解析几何只讨论圆与直线间的参考坐标系上两定点距离和为一常数的运动点轨迹之椭圆线，两定点距离差为一常数的运动点轨迹之双曲线，一定点与到一直线距离相等的运动点轨迹之抛物线与若干角位移与矢径成一定关系之螺旋线等简单典型的曲线。甚至典型曲面及其包围曲面体，以及这些曲线、曲面及其包围的曲面体的参考坐标系的方程表示方法。

1．矢量可一分为二为相互垂直坐标上的分量，两分量加减合二而一可简化矢量计算。方向通常经过参考物所设为原点与水平线的角度变换为长度参量，如正弦、余弦等来表示。相对水平线角度与三角形密切相关。如原点或圆心O垂直坐标轴x、y，圆心右边x水平轴为正值，左边为负值-x，上部y轴为正值，下部轴为负值-y。半径r在圆周上的点B在两轴的垂线值x、y构成直角三角形△OBx，三条边为y、x、r，即

y;（+）x≧r

≒y2+x2=r2

系：平面极坐标用从O引出的射线r与x轴的夹角ϕ表示。三角几何点的轨迹合二而一：

rsinϕ;rcosϕ≧z

≒r2cos2ϕ+r2sin2ϕ=r2=z2

上式中的z是x、y或r、ϕ的矢量参量z（x、y）或z（r、ϕ）。

为了简化，常采用二维4个象限描述，三角函数用圆半径r对应两个垂直轴垂线值x、y，其比值跟角度ϕ的函数关系为：

x2+y2=r2sin2ϕ+r2cos2ϕ=r2

此公式中的r不变时为圆周轨迹或圆周曲线。

2．如图1.3.7所示，如果矢量一分为二，矛盾的另一面再一分为二而构成x、y、z三维分量，那么f（x、y、z）为合成矢量。可见矢量是一定矛盾统一的关系式：

（x:y）:z≧f

≒x+y+z=f

≒x2+y2+z2=f 2

为了更好地表达实物的立体形状与变化，引进了带方向的垂直坐标x、y、z来描述简单矢量与空间曲线变化。

系1：矢量改变量及其对时间的比值可表示为：

Δx+Δy+Δz=Δf

Δx/Δt+Δy/Δt+Δz/Δt=Δf/Δt

系2：描述圆柱、圆锥之类的图形，引进了圆柱坐标r、ϕ、z表示法，其中x=rsinϕ、y=rcosϕ，则

（x;y）:z≧f

∨（rsinϕ;rcosϕ):z≧f

≒r2cos2ϕ+r2sin2ϕ+z2=f 2

系3：为了方便描述球体图形引进了球面坐标R、θ（纬度）、ϕ（经度）表示法，x=Rcosθsinϕ,y=Rcosθcosϕ,z=Rsinθ。这三类坐标表示之间可互相变换，如x=rsinϕ统一关系可分别表示为：

（x;y）:z≧f

∨（Rcosθsinϕ;Rcosθcosϕ）:Rsinθ≧f

≒R2cos2θsin2ϕ+R2cos2θcos2ϕ+R2sin2θ=f 2

其自变参量间的矛盾统一关系如上所述。

3．物质自然成型来自于涡旋运动，而涡旋运动可一分为二为圆周相对圆心正反运动，圆周左右旋与径向正反运动等。圆周相对圆心的运动方向始终存在正反两侧，即同向侧弥散与反向侧浓缩而使涡旋由同向侧趋向反向侧运动。从而涡旋体通常作曲线，即作圆、椭圆、圈态、弦等运动。只有大量不规则运动涡旋体组成的宏观物体才作静止或匀速直线运动。因此牛顿力学惯性只是宏观物体或机械运动的属性。

涡旋个体包括微观粒子或宇观天体等，运动的圆周对圆心速度始终存在正反运动的两侧，圆心运动速度快慢影响圆周运动状态。圆心静止作圆运动的物质系统，但圆心以某个速度运动则变成椭圆运动或更复杂的运动。设想圆心变成椭圆前沿焦点（两焦点之一），随着圆心速度增大，椭圆愈来愈扁，即离心率愈大或压缩系数愈小。涡旋运动的另一个特点是离圆心愈远圆周线速度愈大，直至光速，也就是说圆周光速是涡旋实体的极限半径或范围。中心速度愈大，涡旋体半径或范围愈小。光速时接近一条直线上点的运动状态。

直线点轨迹是方向不变的矢量运动，而中心不动圆周点轨迹是数值不变方向连续改变的矢量运动。这两类极端情况的轨迹用坐标投影的连续函数或方程描述更方便些。函数（因变数）及其自变数可以是标量，也可以是矢量。连续矢量变化的轨迹，如圆、椭圆与其他曲线用函数及其方程描述是较佳的数学方法，如解析几何方法。

解析几何建立在静止坐标上点曲线移动描述与计算基础上，把图形投影在坐标上，并用静止坐标关系式来表达基本图形的关系，点的运动轨迹若是直线，可用其坐标分量一次方程描述，如：

ax+by+k=0

∨ax+by+cz+k=0

4．对于圆、椭圆及一般曲线、曲面来说，各点状态也可用静止坐标分量二次与一次性方程混合表示，如：

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+k=0

∨ax2+by2+cz2+2fyz+2gzx+2hxy+2px+2qy+2rz+k=0

对于圆、椭圆、双曲、抛物、螺旋典型线、面，轨迹坐标分量描述方程可以简化。曲直矛盾统一可用曲率或离心率描述。一般曲线、曲面辩证关系具有静止坐标二次与一次混合性质，即通常是二次与一次方程式。

5．如图1.3.8所示，静止平面坐标上的椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点运动之轨迹。椭圆的四个顶点为A、B、C、D，长短轴交点或中心为G（x=0,y=0），长轴与短轴分别为：

AB=2a或a=GA=GB

CD=2b或b=GC=GD

焦点为：

F1F2=GF1+GF2=2c

焦距为：

曲直矛盾统一可用离心率e=c/a<1或压缩系数 表示。当e=0或μ=1时为圆。椭圆上一点M对焦点即两定点距离称为半径，MF1=r1=a-ex、MF2=r2=a+ex。由椭圆曲线定义：

移项平方，经过整理可得到：

系1：椭圆中心G不在坐标原点，而是g、h时，方程为：

（x-g）2/a2+（y-h）2/b2=1

系2：椭圆半径之和为常数，即r1+r2=2a，椭圆周长。椭圆面积S=πab。

系3：椭圆旋转轴设在b轴上的转动惯量J=ma2/4，其中m为椭圆均匀分布的总质量。

系4：中心在坐标原点上（x=0、y=0、z=0）的椭圆锥面方程为：

若a=b，则成圆锥面，即x/a-z/c=0平面上直线的旋转面。圆锥体积V=πa2h/3。质量均匀分布圆锥体绕z轴旋转惯量为J=3a2m/10。

系5：中心在坐标原点上（x=0、y=0、z=0）的椭圆柱面方程为：

x/a;（+）y/b≧1

≒x2/a2+y2/b2=1，且z=h

若a=b，则成为圆柱面。体积V=πa2h。质量分布均匀的圆柱体绕z轴旋转惯量J=a2m/2。

6．静止平面坐标上的双曲线是指一动点移动与平面上两个定点或焦点的距离差的绝对值始终为一定值时所构成的轨迹，如图1.3.9所示。在G为原点的x、y平面坐标双曲线x实轴上，顶点距离AB=2a。A、B垂线与渐近线y=±bx/a交点连线在虚轴y上的交点CD=2b。焦距。离心率e=c/a>1。焦点半径r1=±（ex-a）,r2=±（ex+a）。双曲线x、y合二而一方程可类似椭圆方法由定义求得

b2x2-a2y2=a2b2

x2/a2-y2/b2=1

可见解析几何平面曲线轨迹可一分为二于x、y分量上表示。

7．如图1.3.10所示，静止平面坐标上到定点与定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线。其中定点叫抛物线的焦点F，定直线叫抛物线的准线L。抛物线在平面坐标x、y合二而一方程为

y2=2px

r=p/（1-cosθ）

其中，p为焦点参数，等于过焦点且垂直于x轴的弦CD之长的一半。

θ为抛物线上点（x、y）到焦点连线r与x轴的夹角。x主轴上的焦点为F。

点运动轨迹基本曲线除椭圆、双曲、抛物线类型通常可分解为平面x、y分量描述，抛物线的焦点F，直线L为抛物线的准线，定点F不在定直线L上。它与椭圆、双曲线的定义相仿，只是比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。

8．如图1.3.11所示，若静止平面坐标上螺旋曲线为一动点以常速υ沿一射线运动，而这一射线又以定速度ω绕极点O转动时，该动点可一分为二为射线径r与转过角度θ形成的轨迹。曲线相对x轴对称。射线径r与旋转过角度θ正比的合二而一方程为：

r=υθ/ω=αθ

式中，α为常数。过极点的射线与曲线交点的半径射线线段距离相等。曲率半径为：

R=α（θ3+1）3/2（/θ2+2）

此射线等距螺旋曲线又称阿基米德曲线。

系1：如果螺旋穿过极点射线径长r与螺旋过角度θ成反比的螺旋线方程为r=α/θ，称为双曲螺旋线。

系2：如果螺旋穿过极点射线径长r与螺旋过角度θ开方成反比的螺旋线方程为r=α/，称为连锁螺旋线。

9．对数螺旋线又称等角螺旋线。若一条曲线在每个点P的切矢量都与某定点O至此点P所成的矢量夹成一定角，且定角α不是直角，则此曲线称为一条等角螺线，点轨迹称为等角螺线、对数螺线或生长螺线，它是在自然界常见的螺线。静止平面极坐标系（r,θ）中，等角螺旋曲线上过点P的切线与过极点的射线在该点P的交角都等于α。直接用射线径r与转过角度θ两量的合二而一方程为：

r=αeκθ

这个曲线也可以写为：

θ=（1/κ）ln（r/α）

因此也称对数螺旋线。其中κ=cotα。

过极点的射线与曲线交点的距离由里到外等比（公比e2πκ）地递增。弧长。曲率半径。若θ→-∞，曲线沿顺时针方向绕极点而趋于极点。α=π/2时，曲线为圆。

系：涡旋运动点轨迹通常也是螺旋线运动，而螺旋线有若干类型，但满足角动量守恒，即rω=k（常数）才是最基本螺旋线。

10．球面坐标中R为球心到球面的半径R，球面经度用ϕ表示，纬度用θ表示。球面上点为：

球半径为R，球面积S=4πR2，球体积V=4πR3/3。质量均匀分布球体绕z轴旋转惯量为：

J=2R2m/5

11．中心在坐标原点（x=0、y=0、z=0）的椭球面方程为：

x/a;（+）y/b;（+）z/c≧1

≒x2/a2+y2/b2+z2/c2=1

若a=b=c就是上面所述的球面。

系1：当a=b，且c<a，则构成绕z轴旋转的铁饼形状。铁饼体积V=4πa2c/3。质量均匀分布的铁饼体绕z轴旋转惯量为J=2a2m/5。

系2：当a=b，且c>a，则构成竖橄榄或竖椭球形状。竖橄榄体积V=4πa2c/3。质量均匀分布的竖椭球体绕z轴旋转惯量为J=2a2m/5。

系3:a>b>c，则是一般的椭球形状。椭球体积V=4πabc/3。质量均匀分布的椭球体绕z或c轴旋转惯量为J=2（a2+b2）m/5。

12．中心在坐标原点（x=0、y=0、z=0）的双曲面方程为：

x/a;（+）y/b;（-）z/c≧±1

≒x2/a2+y2/b2-z2/c2=±1

系1：方程中a=b时，相当于双曲线绕z轴旋转。

系2：方程中±1取+1为单叶双曲面，取-1为双叶双曲面。

13．中心在坐标原点（x=0、y=0、z=0）的抛物面方程为：

z=x2/a2±y2/b2

系1：方程中取正时为椭圆抛物面，取负时为双曲抛物面。

系2：当a=b且方程取正时，z=（x2+y2）/a2，为抛物线旋转面。

系3：当a=b且方程取正时，高度为h的抛物面所包围的体积V=πa2h/2。

第三节 动态几何

解析几何主要讨论静止的空间三维或平面二维坐标系上物质运动轨迹的典型曲线几何图像描述方法。黎曼几何则是n维空间几何，广义相对论应用它构成四维复数时空与张量。拓扑几何主要讨论顶点数、棱边数及其分割面数相同变换等价图形。也就是说拓扑几何着重研究图形间的点、线、面的关系及其变换，而不管具体形状。实际上量度参考坐标系间通常是相对运动的，同一事物的图像，在相对运动时空坐标间的量度是不同的，甚至时空也存在不同或变化。

同一物质系统应该以同一量来表示。因而同一物质系统在相对运动参考系间至少有一个以上的不变量，那么据此可以较方便地进行参考坐标间的变换。以往设时间与空间同一性或不变性来进行其他量图像的变换，这样圆形在这些坐标间仍然不变。但实际情况没那么简单，如狭义相对论则假设光速在相对匀速直线运动的坐标间具有同一性或不变性，这样时空就不是同一或不变的。静止参考坐标系上的圆在其他相对运动的坐标系上就不是原来的圆形，而是不同的椭圆形等。

有没有更普遍的相对运动参考坐标间的物质系统不变量呢？经过长期考察与思考，确认物质不生不灭性及其量度质量才是根本同一量或不变量。而且新意义的质能正比关系，相应总能也具有同一性和不变性。在一定条件下，可以得出时空不变性或光速不变性。质量与时间、空间长度、角度是独立的基本量度，都有基本单位。与三角几何的边、角是基本量，解析几何的坐标X、Y、Z分量表示基本量类似，动态几何即相对运动坐标参考系以质量、能量及其时间、空间长度、角度等为基本量。

1．数理辩证逻辑指出，数来源于计数与量度，同一系统在相对运动参考坐标系间量度某些量A是相同的，另一些与参考坐标系运动有关的量B是不同的或变化的，其矛盾统一必引出另一些与参考坐标系无直接关系的量C作补偿，使其和等于A，以满足系统同量A仍然不变。可用等式等价表示，即

B;C≧A

≒A=B;（+、-）C

如果存在相对运动任何参考坐标系间的系统不变量，如E，又存在随坐标系量度而不同的量，如Ea，这个矛盾统一，只能推出存在相反性质另一些量，如Eb，使其和为不变量E：

E;（-）Ea≧Eb

≒E-Ea=Eb

E=Ea+Eb

如物质不灭性，孤立或对外交换平衡同一物质系统对于任何参考系量度的物质量之质量m都不应该不同或改变。根据质能关系，该系统总能与其质量成正比，即E=mc2，从而总能也是同一或不变的。

系：相对匀速直线运动（简称惯性）参考坐标系间量度同一物质系统的动能Ea=mv2/2是不同的，而总能E=mc2又是统一的。该矛盾统一，必定存在另一与参考坐标系运动无直接关系的能量Eb，如内能或标能，与动能之和等于总能，以解决矛盾或统一矛盾。

2．由矢量定义的能量称为矢量能，如平动能mυ2/2、涡旋能Jω2/2、转动能等。由标量定义的能量称为标能，如位能mgl、内能kT、变换能hv/2等。总能通常由这两类能量组成的，如：

E=Ea+Eb

总能一分为二且等于周期变换能E♂≡hv/2与动能mc2/2之和。能比等于1/2的场质粒子，称为量子，即

E=mc2≦mc2/2;（+）hv/2≧hv

≒mc2=mc2/2+hv/2=hv

hv/2=mc2/2

∵c=λv=λ/τ

∴p=mc=hv/c=h/λ

可见德布罗意波公式的本质在于量子或粒子周期性变换运动。

3．粒子或量子经过介质时，发生交换。其交换周期与频率决定于量子或粒子变换周期τ与频率v，但交换能量由总能至少减去其平动能与周期变换能，即

E♀=mc2-mv2/2-hv/2=m（c2-v2）=mc（2 1-v2/c2）

其中对于稳定量子或粒子来说mυ=hv/υ=h/λ。速度愈高交换能愈小，达到光速时交换能等于零，只有平动能与周期变换能，且二者相等。

4．光源坐标系（不考虑介质）上量子变换能为：

hv/2=mc2/2=m（Δι/Δt）2/2

相对光源运动惯性参考坐标系，质量或总能（甚至占总能一半的变换能）不因量度参考坐标系相对运动而改变。可通过坐标时空变换等价来实现，如能量变换的时空关系，光子能量一分为二：

mc2≦hv/2;（+）mc2/2

≒mc2=hv/2+mc2/2=m（Δι/Δt）2/2+hv/2

mc2≦mc'2/2;（+）hv/2;（+）mυ2/2

≒mc2=m（Δι'/Δt'）2/2+hv/2+mυ2/2

光子质量或总能不变的情况下，相对光源运动参考坐标系的光子总能是动能、变换能，加上光源相对运动参考坐标系引起的动能。光量子总能不变性使上两式相等：

m（Δι'/Δt'）2/2=mc2-hv/2-mv2/2

=mc2-mc2/2-mv2/2=mc（2 1-v2/c2）/2

=m（Δι/Δt）（2 1-v2/c2）/2

上式表示相对发射源匀速运动参考坐标系所量度的光量子速度。

系1：相对光源以速度υ运动参考坐标系所量度时间，当位移Δι'=Δι时，则：

相对光源运动惯性参考系（光）时间延长或变慢。

系2：当Δt'=Δt时，则：

相对光源运动惯性参考系（光）位移距离缩短。

系3：洛伦兹变换可知运动着的尺在运动方向上缩短（洛伦兹收缩）等价。

可见相对论时空变换或洛伦兹变换收缩的本质是相对光源运动惯性参考坐标系光量子总能不变的情况下惯性参考坐标系间动能变换引起时间或空间变换。

5．如果相对光源惯性参考坐标系光量子速度为。在没有外力作用下惯性参考坐标系间动量变换守恒，速度变换可改为，假设光速不变性，则速度变化属性等价地转移到相对论质量变化中去，即

式中，m’代表光量子速度变化转移为质量变化的转移质量，相对论公式为：

两等价式中相对论静止质量m0=m'。

惯性坐标系相对光源坐标系运动光速改变而动量不变性等价于相对论质量改变而光速不变。可见相对论光速不变性原理的本质是光速随惯性坐标系改变属性转移到相对论静止质量改变的等价方法。

6．相对加速直线运动参考坐标系所量度的同一物质系统动能是增加变化的，而总能又是同一的，必定存在另一与参考坐标系运动无直接关系的能量，如内能或标能以相反方式减少变化。即标能在坐标变换的同时也变换为动能，等价于相互作用力的作用。

动能连续变化的改变量对位移改变量比值导数定义为力：

F≡ΔE/Δι

这个力是因参考坐标系变换引起的，称为惯性力。其他弹性作用力则以交换形式将动能传递给受力物体，受力物体再将其他能量，如位能、标能等交换给施力物体，并构成相互作用。可见相互作用的本质是动能与其他能量交换。

7．力是运动趋势引起动能变化梯度量度，其与加速度的关系式为：

F=ΔE/Δι=Δmυ 2/2Δι=Δmυ/Δt=mΔυ/Δt=ma

相对论为了满足相对性原理，即牛顿力学形式保持不变性，即

≒F=m'a0

其中m’为相对论静止质量或惯性质量，a0为牛顿力学加速度。物性数学作用力与牛顿作用力等价则得：

F=ma=m'a0

a=a0 1-υ2/c2

上式指出实物加速度随速度增大而减少，速度增至光速时，加速度等于零，意味着光速及其以上不同性质场质间不相互作用或叠加不相干。同性质场质叠加靠其连续可入性趋匀引起平衡趋势而运动。

可见相对论的相对性原理其本质是将物质高速运动加速度属性转移到相对论静止质量上的一种等价方法或者说相对论通过时空变换将牛顿力学推广到高速运动的一种等价方法。在光速与极限速度之间的场质状态，由于光速运动量子含有周期变换，只有同步运动场质才发生连续可入性运动趋匀过程中引起变化，而不同步或不同场质之间不发生相互作用或影响。

8．光速是实物极限速度，而场质是大于等于光速连续物质状态。如果实物周围场质运动的矛盾统一描述为三维空间自变量x、y、z的分量，加上时间自变量t，乘光速作为标量虚数维与矢标量空间三维混合表示的四维时空，其共轭为：

上式可以看成矢量平方变化建立在光速基础上的场质运动状态。

位移矢量改变量可表达为f：

∨Δx2+Δy2+Δz2+c2Δt2=Δf 2

位移矢量对时间微量比值速度为：

即系统速度平方。若乘以m/2，则成两项动能之和的总能，即

mv2/2+mv2/2=mǔ2/2≤mc2

可以表达为实物周围场质状态都在光速以上运动状态。

系1：速度υ是相对光速运动坐标系变换速度，速度c是光速，合二而一为相对运动坐标系量度的场质速度ü。

系2：若速度υ是变化的或加速的，a=Δυ/Δt可以作为加速场质运动状态的描述。其加速度a与速度υ的关系可扩大到场质的物质极限速度或广义极限速度，即：

系3：若速度υ是旋转线速度υ=rω，可以作为旋转运动场质运动状态的描述。

系4：如果周围场质相对光速的速度υ=c时，为场质或物质极限速度或称广义极限速度，此时系统处于广义极限速度物质状态。

9．任一运动参考坐标系之间进行变换，前面加一个系数：

位移矢量对时间微量比值速度为：

可见四维时空实质上是场质时空。它从某种意义上相当于n维黎曼几何特例。但时间维以虚数表示，使整式是矢量与标量复数。不同系数反映相对运动参考系之间的变换关系。这是广义相对论所使用的基本数学工具。

10．场质为光速以上物质状态，相对同一角速度而不同圆周上运动所量度同一物质系统转动能mu2/2是不同的，但总能E=mc2又是同一的，必定存在另一与参考坐标系运动无直接关系的能量，如旋转趋势能或标能。离中心愈近（υ=ωr）旋转动能愈小，旋转径向交换能愈大。表明离中心愈近交换愈强，离中心愈远交换愈弱，无穷远或更准确地说达到极限速度范围时交换能等于零。因此场质涡旋向心浓缩成点状态，并表示为点：

u=v+ic=rω+ic

∨u2=（rω+ic）（rω-ic）=r2ω2+c2≤2c2=¢2

系1：同一系统质量m或总能E（=mu2/2+交换能）相同，而不同角速度产生不同旋转动能，角速度愈大，离中心相同距离的旋转动能愈大，愈趋向中心交换能愈小或愈弱。

系2：中心速度愈大，趋向中心交换能量愈小或愈弱意味着浓缩质量愈小，相应质量密度愈低。或者说系统速度愈大，相应质量密度愈低。场质运动速度是大于等于光速的，因此为质量密度低的物质状态。

11．如果相对角加减速度参考系对系统总能不变性的话，相对旋转参考坐标系角减速度运动，ω变小，相同离心距离的系统交换能变大或质量密度提高，即具有向心或浓缩属性。浓缩性旋转物质系统周围实际上是向心螺旋线运动，可以一分为二为正向旋转与向心径向两个分量运动。系统由连续物质处于这类运动状态称浓缩性涡旋。具有带负电或电子型或得质量状态的场质特性。

相对旋转参考坐标系角加速度运动，ω变大，相同离心距离的系统交换能或质量密度降低，即具有弥散属性。弥散性旋转周围实际上是螺纹线背心运动，可以一分为二为反向旋转与背心径向两个分量运动。系统由连续物质处于这类运动状态称弥散性涡旋。具有带正电或空穴型或失质量状态的场质特性。

12．涡旋体中心不存在无穷大质量而必运动，即圆心通常存在速度。而场质圆心光速外侧同向速度叠加而具有弥散趋势，里侧反向速度叠加而具有浓缩趋势，使其具有外侧向里侧运动的趋势。旋转场质也有引起沿向心径向移动的趋势。这样，中心运动涡旋体是沿着曲线，甚至圆或椭圆运动或弦或圈态运动。这也是广义相对论空间弯曲的本质所在。

中心速度愈大移动半径愈大，速度达到光速，则移动轨迹接近直线运动。而且涡旋半径或体积随速度增大而减少，达到光速时接近于一个点。场质涡旋中心运动速度是光速，所作圆或椭圆等为非常大的曲线运动，近直线运动。移动中引起动能改变对位移导数力的大小跟涡旋体相对中心运动差异密切相关而非常微弱。从而得出结论：场质涡旋随中心速度增加而体积变小，运动轨迹为变直的运动。光速时成为点的匀速直线运动，即具有高速运动连续物质形态。

13．场质跟实物一样，总能或质量不变的情况下，涡旋体中心或原点匀速平动与匀角速度旋转相对运动参考坐标系，中心速度愈大或角速度愈大，动能愈大，从而浓缩交换能愈小，趋于弥散，则质量密度愈小。或者说能密度趋匀下，速度或角速度愈大，质量密度愈小。

反之总能或质量不变情况下，涡旋体中心或原点匀速平动与匀角速度旋转相对运动参考坐标系，中心速度愈小或角速度愈小，动能愈小，从而浓缩交换能愈大，趋于浓缩，则质量密度愈大。或者说能密度趋匀下，速度或角速度愈大，质量密度愈小。如下式：

w=ρ（υ2+r2ω2）/2

对于场质来说上式速度等于光速，即υ=c。

14．涡旋体相对中心加速平动与旋转角加速运动参考坐标系，则速度变大，动能变大，交换能变小，具有弥散趋势，质量密度变小趋势。反之涡旋体相对中心减速与旋转角减速，速度变小，动能变小，交换能变大，具有浓缩趋势，质量密度变大趋势。

系1：中心变速与角变速度相反，质量密度或范围可以保持不变的交变运动状态。

系2：速度与角速度周期性变换实际上就是平动能与涡旋能周期性变换。在一定条件下（如建立光速基础上场质运动状态）等价于电能与磁能周期性变换，这是量子基本状态。

15．浓缩性涡旋与弥散性涡旋在一定条件下可以相互转化而构成周期性变换运动与交换作用。如果光速部分之外，正反涡旋能周期性变换，并构成周期变换能，其大小由变换频率定义。而总能或质量不变，并使总能是平动能周期变换能之和。

周期变换能还可以是速度与角速度间的周期性变换，可以是速度与半径大小间的周期变换，也可以是角速度与半径间的周期变换，甚至质量密度与速度或角速度间的周期变换，构成不同性质的周期变换能，但周期变换能量大小决定于周期变换频率v或周期τ，即定义为：

E≡hv/2