第1章 点的运动及刚体的简单运动

点的运动主要研究动点相对于某一个参考系的任意曲线运动，包括点的运动方程、运动轨迹、位移、速度和加速度等。点的运动学既是研究一般物体运动的基础，又可直接应用于工程实际中。描述点的运动有多种方法，本章将介绍常见的矢量表示法、直角坐标表示法和自然坐标表示法。

刚体的平动（translation）和定轴转动（fixed axis rotation）称为刚体的基本（简单）运动。刚体的基本运动是刚体运动的最简单形式，是不可分解的基本运动形态。刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。

1.1 点的运动

点的运动主要有直线运动（rectilinear motion）和曲线运动（curvilinear motion）两种形式。曲线运动又可分为平面曲线运动和空间曲线运动。下面介绍常见的描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法。

1.1.1 矢量法

运动方程

设动点M在空间做曲线运动，如图1-1所示。选取参考系上某一个确定点O为坐标原点，由点O向动点M作矢量r，称为该动点对于原点O的位置矢量（position vector）或矢径。当动点M运动时，矢径r的大小和方向都随时间而变，并且是时间t的单值连续函数，即

这就是用矢量表示的点的运动方程（equation of motion）。它表明了动点在空间的位置随时间变化的规律。点M在运动过程中，其位置矢量的端点描绘出一条连续曲线，称为位置矢端图（hodograph of position vector）。显然，位量矢端图就是点M的运动轨迹（trajectory）。

速度

设点沿图1-1所示的轨迹运动，t瞬时位于点M，用矢径r(t)描述；t+Δt瞬时位于点M＇，用矢径r(t+Δt)描述。在Δt时间间隔内，点的位移为Δr，即矢径在Δt内的增量为Δr=r(t+Δt)-r (t)，则在Δt内点M的平均速度为，方向沿Δr的方向。

当Δt→0时，平均速度的极限值称为动点在瞬时t的速度（velocity），即

这表明，点的速度等于它的矢径对于时间的一阶导数，其方向沿点M的切线方向。

加速度

在Δt时间间隔内，点的运动速度由v(t)改变为v(t+Δt)，速度的改变量为Δv=v(t+Δt)-v(t)，则称a*=Δv/Δt为点M在Δt内的平均加速度，其方向沿Δv的方向。

当Δt→0时，平均加速度的极限值称为点在瞬时t的加速度（acceleration），即

这表明，点的加速度等于其速度对于时间的一阶导数，也等于其矢径对于时间的二阶导数。点的加速度也是一个矢量。如果把不同瞬时点的速度矢量v1,v2, v3…平行移动到同一出发点O1（任选），如图1-2(a)和(b)所示，这些速度矢量的末端将描绘出一条连续的曲线，称之为速度矢端图（hodograph of velocities），如图1-2(c)所示。

1.1.2 直角坐标法

当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法描述点的运动规律。

运动方程

取直角坐标系Oxyz，如图1-3所示。点M在运动过程中，其坐标x, y, z随时间变化。

矢径r与直角坐标x,y,z有如下关系：

由于r为时间的单值连续函数，所以x,y,z也是时间的单值连续函数，即

x= f1(t)=x(t), y= f2(t)=y(t), z= f3(t)=z(t)

上式是以时间t为参数的方程，称为动点以直角坐标表示的运动方程。它确定了任意一个瞬时点M在空间的位置，若消去参数t，则得到关于x,y,z的函数方程为

即为动点的轨迹方程。

速度

将式(1-4)代入式(1-2)，由于三个沿定坐标轴的单位矢量i,j,k为常矢量，故有

设速度v在直角坐标轴上的投影为vx,vy,vz，分别表示沿x,y,z方向的速度分量，则

v=vxi+vy j+vzk

所以，可得

因此，速度在各直角坐标轴上的投影等于动点各对应坐标对时间的一阶导数，其大小为

加速度

将式(1-6)代入式(1-3)，并设ax,ay,az为加速度在直角坐标轴上的投影，则

且有

因此，加速度在各直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数，其大小为

例题1-1

椭圆规机构如例题图1-1(a)所示。曲柄OA以等角速度ω绕O转动，通过连杆BC带动滑块B、C在水平和铅垂槽内运动，OA=AB=AC=l。求：

(1) 连杆上点P（BP=r）的运动方程；

(2) 点P的速度与加速度。

分析：由于点P在平面内的运动轨迹未知，故建立如例题图1-1(a)所示的直角坐标系Oxy来描述运动。

解：

(1) 求点的运动方程。

点P是连杆BC上的一点；该杆两端分别被限制在水平和铅垂方向运动；曲柄做等角速转动，且φ=ωt。由此，可写出点P的运动方程为

消去时间t，得轨迹方程为

这是一个椭圆方程，如例题图1-1(b)所示。

(2) 求点的速度与加速度。

对运动方程求导，得

讨论：

(1) 注意到前面求出的加速度分量式有

因此有

aP=-ω2r

即aP永远指向点O。

(2) 画速度端图，由速度方程消去时间t，得

这也是椭圆方程，如例题图1-1(c)所示。可以看出，加速度沿速度矢量端图的切线方向，且知P1→P3加速，P3→P5减速，P5→P7加速，P7→P1减速。

例题1-2

半径为r的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动（称为纯滚动），轮心C在与轨道平行的直线上运动。设轮心C的速度为一个常量vC，试求轮缘上一点M的轨迹、速度和加速度。

分析：由于点M在平面内的运动轨迹未知，故建立如图1-2所示的直角坐标系Oxy来描述运动。

解：

取φ 0=时点M与直线轨道的接触点O为原点，建立直角坐标系Oxy，如例题图1-2所示。当轮子转过φ时，轮子与直线轨道的接触点为B。由于是纯滚动，故有

于是，用直角坐标表示的点M的运动方程为

将式(a)对时间求导，即得点M的速度沿坐标轴的投影为

于是，点M的速度为

进一步，可得点M的加速度为

其大小为

讨论：

(1) 运动方程式(a)实际上也是点M运动轨迹的参数方程（以t为参变量），这是一个摆线（或称为旋轮线）方程。因此，点M的运动轨迹是摆线。

(2) 请读者分析当点M到达最高位置H时，以及当点M到达最低位置I时，其速度、加速度的大小和方向如何。

1.1.3 自然坐标法

在实际工程及现实生活中，动点的轨迹往往是已知的，如运行的列车、运转机器上的某一点等。此时，便可利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴坐标系，并以此来描述和分析点的运动。

运动方程

设动点M沿已知轨迹运动，在曲线轨迹上任选一个参考点O作为原点，并设原点O的某一侧为正向，另一侧为负向，如图1-4所示，则点M在轨迹上任意一点瞬时的位置就可以用从点O沿轨迹所度量的弧长加以正负号来确定。规定了正负号的弧长便称为点M的弧坐标（arc coordinate of a directed curve），以s表示。显然，点M运动时弧坐标s是时间t的单值连续函数，即

式(1-8)表示了动点沿已知轨迹的运动规律，称为动点以弧坐标表示的运动方程。

速度

如图1-5所示，设动点在瞬时t位于曲线上的点M，其弧坐标为s，经过时间间隔Δt后，动点运动到曲线的点M＇，弧坐标的增量为Δs，其弧坐标为s＇=s+Δs，矢径的增量为Δr。根据式(1-2)，并注意到Δt→0时有Δs→0，则动点的速度为

当Δt→0（即点M＇趋近于点M）时，，而Δr的方向则趋近于轨迹在点M的切线方向。若记切线方向的单位矢量为τ，则有

其中，τ指向弧坐标s增加的方向，代入式(a)则可得动点的速度为

式(1-9)表明，动点的速度是一个矢量，其大小 v 等于弧坐标对时间的一阶导数，方向沿曲线的切线方向，用单位向量τ表示。

加速度

将式(1-9)代入式(1-3)，得动点的加速度为

由式(1-10)可知，速度矢的变化率由其大小（代数值v）的变化率和方向（单位矢量τ）的变化率两部分组成。

若动点的轨迹为平面曲线，设在瞬时t，点M的切向单位矢量为τ，经时间间隔Δt，动点运动至点M＇，该点的切向单位矢量为τ＇，如图1-6(a)所示，切线方向转动了Δφ角，则在式(1-10)中

由图1-6(b)可知，Δτ的模为

于是

式中，为轨迹在点M的曲率，ρ为曲率半径。当Δt→0时，Δφ→0, Δτ的方向趋近于轨迹在点M的法线方向，指向曲率中心。若记指向曲率中心的法线方向单位矢量为n，则有

于是，有

式中，右端第一项是反映速度大小变化的加速度，记为aτ；第二项是反映速度方向变化的加速度，记为an。因为

是一个沿轨迹切线的矢量，因此称为切向加速度（tangential acceleration）。若＞，则aτ指向轨迹的正向；若，则aτ指向轨迹的负向。令

则aτ为一个代数量，是加速度a沿轨迹切向的投影。

因为

是一个沿轨迹法线指向曲率中心的矢量，因此称为法向加速度（normal acceleration）。令

则an为一个代数量，是加速度a沿轨迹法向的投影，如图1-7所示。由a的两个正交分量aτ,an，可求出a的大小和方向为

式中，θ为(a, n)的夹角。

自然轴系

当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然轴系。由于的极限位置位于点M与运动轨迹相切的平面内[如图1-6(b)所示]，故这一个平面称为密切面（osculating plane）。通过点M可以作出相互垂直的三条直线：轨迹的切线（tangential）与主法线（normal）（二者均位于密切面内）及副法线（binormal）（垂直于密切面）。沿切线、主法线和副法线三个方向的单位矢量分别记为τ, n和b，如图1-8所示。τ指向弧坐标增加的方向；n指向曲率中心；b的方向由b=τ n×确定。上述三条相互正交的轴线构成了随时间变化的直角坐标系，称为自然轴系（trihedral axes of a space curve）。前面关于速度和加速度的公式在自然轴系中均成立，其中加速度在副法线方向的投影恒为零。

例题1-3

半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（即纯滚动），设轮子转角φ=ωt（ω为常值），如例题图1-3所示。求用弧坐标表示的轮缘上任意一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。

分析：在例题1-2中，已经得到了在直角坐标系中点M的速度沿坐标轴的投影为

以及点M的速度为

下面利用弧坐标法求轮缘上任意一点M的运动方程、速度、切向加速度及法向加速度。

解：

取M的起始点O作为弧坐标原点，将式(b)的速度v对时间积分，即得用弧坐标表示的运动方程为

再将式(a)对时间求导，即得加速度在直角坐标系上的投影为

由此，得到全加速度大小为

将式(b)对时间求导，即得点M的切向加速度为

和法向加速度为

于是，由还可进一步求得轨迹的曲率半径为

讨论：

请考虑一种特殊情况，即当t=2π/ω时，φ=2π，这时点M运动到与地面相接触的位置。由式(b)可知，此时点M的速度为零，这表明沿地面做纯滚动的轮子与地面接触点的速度为零。另一方面，由于点M全加速度的大小恒为rω2，因此纯滚动的轮子与地面接触点的速度虽然为零，但加速度却不为零。于是，可得

a x=0, a y=rω2

即接触点的加速度方向向上。