2.2 数字技术

一、知识点综述

数字技术是采用有限个状态（主要是两个状态）来表示、处理、存储和传输信息的技术。

1.信息的基本单位——比特（****）

（1）比特的概念

数字技术的处理对象是“比特”，英文为“bit”，中文为“二进位数字”或“二进位”，简称“位”。比特目前只有两种取值状态，即0和1两个数字。

比特是组成数字信息的最小单位，用小写“b”表示。它既没有颜色，也没有大小和重量。

存储信息的基本单位是“字节”（byte），用大写“B”表示。一个字节包含8个比特。

用比特表示信息可以使计算机结构简单、速度快，并能表示数值、文字、符号、图像、声音等多种不同形式的信息，另外，还方便数据压缩及查错纠错。

（2）比特的存储

计算机中使用存储器来存储二进位信息，存储容量使用2的幂次作为单位，这有助于存储器的设计，经常使用的存储单位有：

千字节（KB），1KB = 210字节 = 1024B；

兆字节（MB），1MB = 220字节 = 1024KB；

吉字节（GB），1GB = 230字节 = 1024MB（千兆字节）；

太字节（TB），1TB = 240字节 = 1024GB（兆兆字节）。

更大存储容量的单位依次为PB、EB、ZB、YB。

存储比特的有触发器（寄存器）、电容器（半导体存储器）、磁盘、光盘等。寄存器、高速缓存、内存、文件和文件夹的大小都使用210为进位计算其容量，而磁盘、光盘、U盘、存储卡等外存制造商采用103 为进位来计算其容量，所以，160GB的硬盘实际容量约为160,041,885,696 字节。

（3）比特的传输

在数据通信和计算机网络中传输二进位信息时，由于是一位一位串行传输的，传输速率采用10的幂次进行计算。经常使用的速率单位有：

比特/秒（b/s），也称“bps”，如9600bps（9600b/s）；

千比特/秒（kb/s），1kb/s = 103比特/秒 = 1000b/s；

兆比特/秒（Mb/s），1Mb/s = 106比特/秒 = 1000kb/s；

吉比特/秒（Gb/s），1Gb/s = 109比特/秒 = 1000Mb/s；

太比特/秒（Tb/s），1Tb/s = 1012比特/秒 = 1000Gb/s。

很多书中小写k表示1000，大写K表示1024。

2.比特与二进制数（****）

（1）数制概念

① 各种不同的数制。

人们日常使用的数是十进制数，使用0～9十个数字符号，运算规则是“逢十进一”。用字母D表示十进制数，一般省略。

使用比特来表示的数称为二进制数，使用0和1两个不同的数字符号，运算规则是“逢二进一”。用字母B表示二进制数。

八进制数使用0～7八个数字符号，运算规则是“逢八进一”。用字母Q表示八进制数。

十六进制数使用0～9十个数字和A～F六个字母，其中A～F分别代表十进制的10～15。运算规则是“逢十六进一”。用字母H表示十六进制数。

计算机中只使用二进制一种计数制，并不使用其他计数制，但由于二进制数太长，书写、阅读、记忆均不便，为了方便，经常使用八进制数和十六进制数表示，简练、易写易记。

② 基数和权。

每种进位制都有固定的数码——基数，用R表示。按基数进位或借位，运算规则是“逢R进一”。如二进制数的基数为2，八进制数的基数为8。

在任何进位计数制中，数码所处的位置不同，代表的数值大小也不同。对每一个数位赋予的位值，在数学上叫做“权”。位权的值等于基数的若干次幂。如一个十进制数在百位上的权为102，一个二进制数在倒数第2位上的权为21。

（2）二进制数的运算

比特的算术运算与十进制相同，加法运算有进位，减法运算不够时有借位。运算规则如表2.1 所示。两个多位二进制数的加减法运算，由低位到高位逐位进行。例如，0101+0100=1001，1001-0100=0101。

（3）数制转换

① 十进制数转换成R进制数。

整数和小数分开转换。整数部分除以R取余数，直到商为0，逆排。小数部分乘以R取整数，直到小数部分为0或者希望得到的位数为止，顺排。

例如，将十进制数29.625转换成二进制数：

29.625 = 11101.101 B

② R进制数转换成十进制数。

每一位乘以其相应的权值并相加，计算按权展开式的和。

例如，将二进制数11101.1011转换成十进制数：

11101.1011B = 1×24+1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3+1×2-4 = 29.6875

十进制小数转换时经常会出现二进制无穷小数，只能取近似值，例如：

0.63D=0.1010…B

③ 二进制数、八进制数、十六进制数间的相互转换。

将二进制数转换成八进制数，以小数点为界，往左往右三位二进制换一位八进制，不足三位，整数部分前面补0，小数部分后面补0。例如：

001101 001110.110100 B = 1516.64 Q

将八进制数转换成二进制数，一位八进制数变成三位二进制数，例如：

2467.32 Q = 010100 110111.011010 B = 10100 110111.011 01 B

二进制数与十六进制数之间的转换和二、八进制数转换类似，只是需要四位一组。例如：

001101001110.11001010 B = 34E.CA H

35A2.CF H = 0011010110100010.11001111 B = 11010110100010.11001111 B

十六进制数与八进制数的相互转换，以二进制数为媒介，即先将其转换成二进制数，再转换成另外的一个进制的数。例如：

1D.4 H = 00011101.0100 B = 011101.010 B = 35.2 Q

任意进制数间都可以相互转换，一般以十进制数或者二进制数为媒介。

3.信息在计算机中的表示（***）

计算机可以处理各种信息，如数值、文字、图形、声音、视频、命令、程序等。

（1）数值信息的表示

计算机中的整数和实数都用二进制表示，整数也叫“定点数”，实数也叫“浮点数”，实数是指既有整数部分又有小数部分的数。一般只要求掌握整数在计算机中的表示。

① 无符号整数。

无符号整数也称不带符号的整数，其取值范围如下。

8位无符号整数的取值范围为：0～255(28-1)。

16位无符号整数的取值范围为：0～65535(216-1)。

n位无符号整数的取值范围为：0～2n-1。

② 带符号整数。

带符号整数的最高位即最左边的一位为符号位，用“0”表示正号“+”，“1”表示负号“-”。

● 原码表示法：最高位为符号位，其余各位表示数的绝对值。

例如，十进制数43对应的二进制数为101011，若是8位机器数，数值部分补足7位，那么+43和-43的原码分别如下：

(+43)原 = 00101011

(-43)原 = 10101011

带符号整数的原码的取值范围如下。

8位原码的取值范围为：-127～+127(-27+1～+27-1)。

n位原码的取值范围为：-2n-1+1～+2n-1-1。

● 补码表示法：正数的补码与原码相同，负数的补码符号位是“1”，绝对值部分为原码的每一位取反后再在末位加“1”。例如：

将-43的原码10101011的绝对值部分每位取反后末位加1得到：(-43)补 = 11010101。

带符号整数的补码的取值范围如下。

8位补码的取值范围为：-128～+127(-27～+27-1)。

n位补码的取值范围为：-2n-1～+2n-1-1。

补码表示法可使加法与减法运算规则统一。通过补码也可以得到一个数的原值。

例如，若一个数在计算机中的补码为11110011，则其原值为多少？

这是求补码的逆运算，先将其减1，得11110010，再除了符号位外各位取反得10001101，最后将数值位0001101转换成十进制数后加上负号，得-13。

计算机中整数有多种，同一个二进制代码表示不同类型的整数时，其含义（数值）可能不同，一个代码到底代表哪种整数，是由指令决定的。

（2）文字符号的表示

字符是指记录语言的符号，包括字母、数字和符号等。字符集是按某种规则编码的一组字符的有序集合。字符集中每个字符都使用二进位表示，称为该字符的编码。不同的字符其编码各不相同。

ASCII码：西文字符一般采用ASCII码表示，即美国标准信息交换码。标准ASCII字符集采用7位编码，共有27=128个字符，其中有96个可打印（显示）字符，32个控制字符。每个ASCII字符以一个字节存放，最高位为0，数字、字母连续存放。

汉字的编码：汉字因为数量大，字形复杂，同形字多，异体字多，给汉字在计算机内的表示带来一定的困难，汉字的具体编码在第6章数字媒体及应用中介绍。

（3）图像等其他信息的表示

数字图像由M（列）× N（行）个取样点组成，取样点即像素。

① 黑白图像。

每个像素只有一个分量，只用1个二进位表示，其取值仅“0”（黑）和“1”（白）两种。

② 灰度图像。

每个像素只有一个分量，表示亮度，一般用8～12个二进位表示，若用n位表示，其取值范围是0～2n-1，可表示2n个不同的亮度。

③ 彩色图像。

像素通常是由3个彩色分量（红、绿、蓝）组成的矢量，三个分量分别表示三基色的亮度，假设3个分量分别用n、m、k个二进位表示，则可表示2n+m+k种不同的颜色。例如，真彩色的红、绿、蓝3个分量分别用8位表示，可表示28+8+8 =224，约1600万种不同的颜色。

4.比特的运算（***）

比特最基本的逻辑运算有三种：逻辑加、逻辑乘、逻辑取反。运算规则如表2.2所示。逻辑加也称“或”运算，用符号“OR”、“∨”或“+”表示。逻辑乘也称“与”运算，用符号“AND”、“∧”或“·”表示。逻辑取反也称为“非”运算，用符号“NOT”或“－”表示。

两个多位二进制数进行逻辑运算时，按位独立进行，相邻位之间不发生关系。例如，0101∨0100=0101，1001∧0101=0001。

用几个晶体管相互连接起来就可以实现各种基本逻辑运算，即门电路，速度极快。

二、真题解析

1.下面关于比特的叙述中，错误的是________。（2007年秋基础第1题）

A.比特是组成数字信息的最小单位

B.比特只有“0”和“1”两个符号

C.比特既可以表示数值和文字，也可以表示图像和声音

D.比特“1”总是大于比特“0”

【解析】比特是组成数字信息的最小单位，目前只有两种状态：数字0 或数字1。比特能表示数值、文字、符号、图像、声音等多种不同形式的信息。比特既没有颜色，也没有大小和重量。D错，比特“1”和比特“0”不能比较大小，是两种状态。

【答案】D

2.使用存储器存储二进位信息时，存储容量是一项很重要的性能指标。存储容量的单位有多种，下面不是存储容量单位的是________。（2011年春基础第2题）

A.TB

B.XB

C.GB

D.MB

【解析】经常使用的存储容量的单位有：千字节（KB）、兆字节（MB）、吉字节（GB）、太字节（TB）。更大存储容量单位依次为PB、EB、ZB、YB。

【答案】B

3.数据传输速率是数据通信中重要的性能指标。Gb/s是数据传输速率的计量单位之一，其正确含义是________。（2010年秋基础第2题）

A.每秒兆位

B.每秒千兆位

C.每秒百兆位

D.每秒百万位

【解析】传输速率的度量单位使用10的幂次进行计算，1kb/s=1000b/s、1Mb/s=1000kb/s、1Gb/s=1000Mb/s（即每秒千兆位）、1Tb/s=1000Gb/s（即每秒兆兆位）。

【答案】B

4.与十六进制数AB等值的八进制数是________。（2009年秋基础第3题）

A.253

B.254

C.171

D.172

【解析】十六进制数与八进制数转换，以二进制数为媒介，一位十六进制数对应四位二进制数，AB对应的二进制数为10101011，三位二进制数对应一位八进制数，不足三位前面补0，即10101011，对应的八进制数为253。

【答案】A

5.二进制数10111000和11001010进行逻辑“与”运算，结果再与10100110进行逻辑“或”运算，最终结果的十六进制数形式为________。（2008年秋基础第2题）

A.A2

B.DE

C.AE

D.95

【解析】逻辑“与”运算的规则是除了1与1为1外，其余都为0，10111000和11001010“与”的结果为10001000。逻辑“或”运算规则是除了0或0外，其余都为1，10001000和10100110“或”的结果为10101110，将其转换成十六进制为AE。

【答案】C

6.二进制数(1010)2与十六进制数(B2)16相加，结果为________。（2007 年春基础第3题）

A.(273)8

B.(274)8

C.(314)8

D.(313)8

【解析】先将不同的进制转换成相同的进制，本题以二进制数为媒介比较方便。将十六进制数B2转换为二进制，为10110010，将其与(1010)2相加，有进位，为10111100，对应的八进制数为274。

【答案】B

7.最大的10位无符号二进制整数转换成八进制数是________。（2009年春基础第2题）

A.1023

B.1777

C.1000

D.1024

【解析】最大的10位无符号二进制整数为1111 111111，转换成八进制数，从右到左，三位一组，为1777。

【答案】B

8.在下列有关数字技术的一些叙述中，错误的是________。（2010年春基础第3题）

A.数字技术是采用有限个状态（如“0”和“1”）来表示、处理、存储和传输信息的

B.在逻辑代数中，1与1进行逻辑加（∨）和逻辑乘（∧）的结果相同

C.任何一个十进制数，均可以精确地转换成等值的二进制数

D.在PC机中，通常用原码表示正整数，用补码表示负整数

【解析】计算机中，信息的表示、处理、存储、传输等都是二进制，二进制数只有0和1。1与1的逻辑加、逻辑乘的结果都是1。十进制小数转换成二进制数，乘2取整，直到小数部分为0或希望的位数为止，有的数只能得到一个近似值。PC机中，负整数一般用补码表示，正整数的原码、补码相同。

【答案】C

9.在计算机中，若某带符号整数的8位补码表示为10000001，则该整数为________。（2006年春基础第4题）

A.129

B.-1

C.-127

D.127

【解析】本题是求补码的逆运算。最高位是1，为负数。负数的补码为原码除符号位外取反加1。反过来，根据补码求原码，减1取反，减1后为10000000，后7位取反得1111111，即十进制的127，结果是-127。

【答案】C

10.设有补码表示的两个单字节带符号整数a=01001110和b=01001111，则a-b的结果用补码表示为________。（2011年春基础第3题）

A.11111111

B.10011101

C.00111111

D.10111111

【解析】方法一：a、b的最高位都为0，为正数。因为a<b，所以，结果为负数。先求b-a，得0000001，即十进制的1，因此，a-b的结果为-1，用补码表示为11111111。

方法二：根据公式[a-b]补=[a]补+[-b]补计算a-b的补码。a的补码题目中已知，，-b的补码为b的补码取反末位加1，得10110001。[a-b]补=[a]补+[-b]补=01001110+10110001=11111111。

【答案】A

11.所谓“变号操作”，是指将一个整数变成绝对值相同但符号相反的另一个整数。假设使用补码表示的8位整数X=10010101，则经过变号操作后，结果为________。（2006年秋基础第3题，2010年秋基础第3题）

A.01101010

B.00010101

C.11101010

D.01101011

【解析】补码为10010101，减1后除了最高位取反得原码，为11101011，变号就是将最高位符号取反，得01101011。

【答案】D